XI 3.6 : Determinan Matriks

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

Halo, anak-anak! Bagaimana kabarnya? Semoga masih tetap semangat, ya.

Di artikel sebelumnya, kita sudah belajar mengenai pengertian serta operasi hitung pada matriks. Hayoo, ada yang masih ingat syarat perkalian dua matriks itu apa? Nah loh! Masa sih udah lupa aja. Coba deh baca-baca lagi artikel di link ini kalau kamu lupa. Nah, bahasan kali ini masih seputar matriks, nih.

Pasti kamu sudah tau dari judul artikel di atas. Yap! Bener banget. Kita akan belajar tentang cara mencari determinan dan invers suatu matriks. Waduh, bagaimana tuh ya? Langsung aja yuk kita simak bersama-sama.

Well, kita mulai dari determinan matriks terlebih dahulu, ya. Kenapa? Soalnya, untuk mencari invers suatu matriks, kita perlu mencari determinannya lebih dulu. Ada yang sudah tau apa itu determinan matriks? 

Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi.

Maksudnya matriks persegi tuh yang kayak gimana sih? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama, sehingga kalau kita gambarkan bentuk matriksnya, akan membentuk bangun layaknya persegi.

“Jadi, kalau jumlah baris dan kolomnya nggak sama, kita nggak bisa mencari determinannya?”

Jawabannya udah pasti,

Gimana, paham ya sampai sini? Oke, kita lanjut, ya. Misalnya, terdapat suatu matriks yang kita beri nama matriks A. Determinan matriks A bisa ditulis dengan tanda det (A), det A, atau |A|. Nah, cara mencari determinan suatu matriks juga berbeda-beda, tergantung dari ordonya. Kita bahas satu-satu, ya…

a. Determinan Matriks Ordo 2×2

Misalkan,adalah matriks berordo 2×2. Elemen a dan d terletak pada diagonal utama, sedangkan elemen b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dapat diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Nah, supaya kamu nggak bingung, coba kita perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh 1 :

Tentukanlah determinan matriks berikut!

Pembahasan:

Contoh 2 :

Tentukan determinan dari matriks berikut ini!

Pembahasan :

Bila kita perhatikan matriks di atas, kita dapat langsung menghitung nilai determinan dengan rumus yang telah kita ketahui.

Det (A) = |A| = ad – bc

|A| = (5 x 6) – (2 x 4) = 30 – 8 = 22

Contoh 3 :

Berapakah determinan dari matriks di bawah ini?

Pembahasan :

Sama dengan soal yang pertama, kita bisa menggunakan rumus untuk bisa menyelesaikannya.

Det (A) = |A| = ad – bc

|A| = (7 x 3) – (2 x 8) = 21 – 16 = 5

Mudah kan ternyata. Hm, kira-kira, mencari determinan matriks berordo 3×3 mudah juga nggak ya? Yuk, kita cari tau!

b. Determinan Matriks Ordo 3×3

Misalkan,adalah matriks berordo 3×3. Terdapat dua cara yang bisa dilakukan untuk mencari determinannya, yaitu menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

Hmm… Kamu pasti bingung ya maksud rumus di atas. Tenang aja, di bawah ini udah ada contoh soal dan pembahasannya kok. Jadi, bisa kamu pahami dengan baik. Tapi, jangan cuma dibaca aja ya. Supaya kamu lebih mudah paham, coba deh ikutan corat-coret di kertas. Yuk, siapkan pulpen dan kertasnya!

Contoh 4 :

Tentukan determinan matriks berikut ini menggunakan aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor!

Pembahasan:

• Aturan Sarrus

Agar lebih mudah, kita tulis kembali elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A sebagai berikut:

Kemudian, kita tarik garis putus-putus seperti gambar di atas. Kalikan elemen-elemen yang terkena garis putus-putus tersebut. Hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna biru diberi tanda positif (+), sedangkan hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna oranye diberi tanda negatif (-). Ingat urutan penulisannya juga, ya!

Sepintas terlihat cukup rumit ya. Tapi, kalau kamu sering berlatih soal, pasti akan hafal dengan sendirinya. Jadi, jangan malas untuk berlatih soal, ya! Sekarang, kita coba kerjakan menggunakan metode yang satunya lagi kuy!

• Metode Minor-Kofaktor

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a₁₁, a₁₂, dan a₁₃.

Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (C_ij). Cij = (-1)^i+j M_ij dan M_ij = det A_ij dengan A_ij merupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Maksudnya bagaimana? Oke, coba kamu perhatikan baik-baik ya.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a₁₁, a₁₂, dan a₁₃. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A₁₁, A₁₂, dan A₁₃.

• A₁₁ diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

• A₁₂ diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.

• A₁₃ diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.

Sehingga,

Kalau kamu perhatikan, nilai determinan matriks A yang dihasilkan menggunakan dua metode di atas akan sama aja ya. Jadi, kamu tinggal pilih nih, mana metode yang menurutmu paling mudah. Tapi, meskipun begitu, ada baiknya kamu juga pahami kedua-duanya. Kenapa? Siapa tau di ujian nanti keluar dua-duanya, loh.

Contoh 5 :

Tentukan determinan dari matriks di bawah ini!

Solusi:

Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.

|A| = (1x5x6) + (4x2x1) + (1x2x3) – (1x5x1) – (1x2x3) – (4x2x6)

|A| = 30 + 8 + 6 – 5 – 6 – 48

|A| = -15

Contoh 6 :

Berapakah determinan dari matriks di bawah ini?

Solusi:

Untuk menyelesaikan soal di atas, maka kita akan menggunakan aturan Sarrus.

|A| = (2x5x1) + (4x2x2) + (1x3x3) – (1x5x2) – (2x2x3) – (4x3x1)

|A| = 10 + 16 + 9 – 10 – 12 – 12

|A| = 1

Oh iya, kamu juga perlu tau nih, determinan matriks memiliki beberapa sifat sebagai berikut:

Ada pertanyaan nggak sejauh ini? Kalau ada yang ingin ditanyakan, tulis aja pertanyaanmu di kolom komentar, ya.

Sebagai penguat materi, silakan tonton video ini ya …

Youtube : Determinan Matriks

Youtube : Minor, Kofaktor & Adjoin