XII 3.2 : Aturan Penjumlahan

Setelah sebelumnya membahas tentang materi gabungan dua himpunan dan gabungan tiga himpunan, kali ini kita akan membahas tentang himpunan saling lepas dan aturan penjumlahan.

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

3. Himpunan Saling Lepas

Silakan lihat kembali konsep tentang himpunan saling lepas berikut ini

Jadi dua buah himpunan dikatakan saling lepas jika tidak ada irisan antara dua anggota himpunan itu.

Tidak ada anggota himpunan $A$ yang juga merupakan anggota himpunan $B$.

Juga sebaliknya. Tidak ada anggota himpunan $B$ yang sekaligus anggota himpunan $A$.

Untuk menentukan gabungan himpunan $A$ dan himpunan $B$ pada himpunan saling lepas, digunakan aturan berikut :

$n(A \cup B) = n(A) + n(B)$

Contoh 1 :

Arya memiliki 5 kemeja dan 4 kaos. Pada saat akan bepergian, Arya memakai salah satu dari kemeja atau kaos yang dimilikinya. Ada berapa pilihan kemeja atau kaos yang dapat Arya pakai?

Jawab :

Secara logika, kemeja dan kaos tidak akan dipakai secara bersamaan. Kemeja akan dipakai secara bergantian dengan kaos. Berarti tidak ada irisan.

Hal ini berbeda dengan contoh pada gabungan dua himpunan sebelumnya, yakni ada anak yang menggemari dua kegiatan sekaligus (ada irisan). Ada anak yang HANYA gemar futsal, ada anak yang HANYA gemar bulutangkis, tetapi ada juga anak yang gemar keduanya.

Nah, yang gemar keduanya ini menandakan adanya irisan.

Pada kejadian saling lepas, ciri utamanya adalah tidak adanya irisan itu.

Back to problem..

Jadi Arya memiliki 5 kemeja.

Jika $A$ adalah pilihan kemeja, maka

Banyaknya pilihan kemeja yang bisa dipilih Arya ada 5.

Ditulis,

$n(A) = 5$

Jika $B$ adalah pilihan kaos, maka

Banyaknya pilihan kaos yang bisa dipilih Arya ada 5.

Ditulis,

$n(B) = 4$

Berapa banyak pilihan kemeja atau kaos yang dapat Arya pakai?

Banyaknya pilihan yang bisa dia pakai adalah :

$\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) \\ &= 5 + 4 \\ &=9 \end{aligned}$

4. Aturan Penjumlahan

Perhatikan konsep berikut ini…

Kita bahas dulu aturan penjumlahan pada kejadian saling lepas.

Jadi, jika terdapat $n$ peristiwa saling lepas

$k_1$ : banyak cara pada peristiwa pertama
$k_2$ : banyak cara pada peristiwa kedua
$\vdots$
$k_n$ : banyak cara pada peristiwa ke-n

Maka,

banyak cara untuk $n$ buah peristiwa secara keseluruhan adalah :

$k_1 + k_2 + \cdots + k_n$

Perhatikan contoh berikut ini …

Contoh 2 :

Roni akan pergi ke sebuah acara. Roni memiliki 5 kemeja polos berbeda dan 3 kemeja motif berbeda. Jika Roni hanya memakai salah satu dari kemeja polos atau kemeja motif, maka ada berapa banyak pilihan kemeja polos atau kemeja motif yang dapat Roni pakai?

Jawab :

Roni hanya akan memakai salah satu dari dua pilihan yang disediakan.

Kalau bukan memakai kemeja polos, ya memakai kemeja motif.

Ini berarti, Roni tidak memakai kedua jenis kemeja ini secara bersamaan.

Berarti tidak ada irisan.

Berarti merupakan kejadian saling lepas.

Maka,

Misalkan, $A$ adalah banyaknya pilihan kemeja polos dan $B$ adalah banyaknya pilihan kemeja motif,

Dapat ditulis :

$n(A) = 5$
$n(B) = 3$

Untuk menentukan banyaknya pilihan kemeja yang dapat dipakai Roni, maka kita akan menghitung $n(A \cup B)$

Dihitung,

$\begin{aligned}n(A \cup B) &= n(A) + n(B) \\ &= 5 + 3 \\ &=8 \end{aligned}$

Contoh 3 :

Sukri akan berangkat dari Jakarta ke Surabaya. Terdapat 3 rute pesawat terbang, 5 rute kereta api, dan 2 rute kapal laut yang menghubungkan Jakarta dan Surabaya. Tentukan banyak pilihan moda transportasi yang dapat dipilih Sukri!

Jawab :

Kita tentukan dulu, apakah ini kejadian saling lepas atau bukan.

Kenapa?

Karena kalau dia bukan kejadian saling lepas, maka kita tidak dapat menggunakan aturan penjumlahan seperti contoh sebelumnya.

Ingat, kapan kejadian ini merupakan kejadian saling lepas?

Dikatakan saling lepas jika tidak ada irisan dari dua himpunan pembentuknya.

Dikatakan saling lepas juga jika tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Dan, dikatakan saling lepas, jika anggota himpunan pertama, tidak ada yang merupakan anggota himpunan kedua, dan sebaliknya.

Apakah pilihan pesawat terbang, pilihan kereta api dan pilihan kapal laut dapat dipilih secara bersamaan?

TIDAK.

Tidak mungkin Sukri berangkat dari Jakarta ke Surabaya dengan menggunakan lebih dari 1 moda transportasi.

Kalau dia naik pesawat terbang, pasti tidak naik kereta api.
Kalau dia naik kereta api, pasti tidak naik kapal laut.

Paham maksud saya?

Karena Sukri hanya bisa memilih 1 kejadian dalam satu waktu, maka kejadian ini tidak bisa terjadi secara bersamaan, yang merupakan tanda bahwa ini adalah kejadian saling lepas.

So, untuk menghitung banyaknya pilihan yang dapat Sukri pilih, kita akan menghitung $n(A \cup B \cup C)$ dengan menggunakan aturan penjumlahan.

Misalkan,

$A$ : pilihan pesawat terbang
$B$ : pilihan kereta api
$C$ : pilihan kapal laut

Maka,

$n(A) = 3$
$n(B) = 5$
$n(C) = 2$

Banyak pilihan Sukri adalah :

$\begin{aligned} n(A \cup B \cup C) &= n(A) + n(B) + n(C) \\ &= 3 + 5 + 2 \\ &= 10 \end{aligned}$

Jadi, banyak pilihan moda yang dapat dipilih Sukri adalah 10.

Contoh 4 :

Dua buah dadu dilantunkan serentak satu kali. Tentukan banyaknya kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5 atau berjumlah 8!

Jawab :

Pertanyaan dasar :

Jika 2 buah dadu dilantunkan serentak, dapatkah munculnya jumlah mata dadu 5 bersamaan dengan munculnya mata dadu 8?

TIDAK.

Kalau muncul mata dadu berjumlah 5, maka tidak mungkin juga muncul mata dadu berjumlah 8. Juga sebaliknya.

Ini berarti kejadian ini adalah kejadian saling lepas. Kita bisa menggunakan aturan penjumlahan di kasus ini.

Nah,

Perhatikan tabel ini untuk melihat jumlah mata dadu yang muncul saat 2 buah dadu dilantunkan serentak.

Tabel di atas adalah seluruh kejadian yang mungkin muncul jika 2 buah dadu dilantukan serentak.

Simbol (1,1) artinya muncul mata dadu 1 di dadu pertama, dan mata dadu 1 di dadu kedua.

Simbol (3,4) artinya muncul mata dadu 3 di dadu pertama, dan mata dadu 4 di dadu kedua.

Nah,

Diantara sekian banyak kejadian di atas itu, ada berapakah kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5?

Cek tabel ini …

Misalkan $A$ adalah kejadian munculnya 2 mata dadu berjumlah total 5,

Maka,

$A$ = {(4,1); (3,2); (2,3); (1,4)}
$n(A) = 4$

Note :
Apakah (3,2) dan (2,3) pada kejadian di atas adalah dua kejadian berbeda?
YA.
(3,2) kan artinya muncul mata dadu 3 di dadu pertama dan mata dadu 2 di mata dadu kedua.
Kalau (2,3) lain. (2,3) berarti muncul mata dadu 2 di dadu pertama dan mata dadu 3 di dadu kedua.

Lanjut,

Berapa banyak kejadian muncul 2 buah mata dadu berjumlah total 8?

Perhatikan tabel ini ..

Kita misalkan $B$ adalah kejadian munculnya 2 mata dadu berjumlah total 8,

Maka,

$B$ = {(6,2); (5,3); (4,4); (3,5); (2,6)}
$n(B) = 5$

Back to problem …

Jadi, berapa banyak kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5 atau berjumlah 8?

Banyak kejadian muncul mata dadu berjumlah 5 atau berjumlah 8 berarti menghitung $n(A \cup B)$.

Karena ini adalah kejadian saling lepas, maka

$\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) \\ &= 4 + 5 \\ &= 9 \end{aligned}$

Contoh 5 :

Dari satu set kartu bridge (kartu yoker atau kartu remi) akan diambil sebuah kartu. Tentukan banyaknya kejadian terambilnya kartu Queen merah atau kartu hitam dari proses pengambilan itu!

Jawab :

Kartu bridge terdiri atas 13 kartu pada setiap simbol. Perhatikan tabel berikut ini

Misalkan,

$A$ : kejadian muncul Queen Merah
$B$ : kejadian muncul Kartu Hitam

Maka,

$n(A) = 2$
$n(B) = 26$

Queen berwarna merah cuma ada 2, yaitu Q love dan Q bajek.
Kartu hitam total ada 26, yaitu 13 warna hitam keriting dan 13 warna hitam waru.

Kejadian ini tidak mungkin terjadi bersamaan, karena warna hitam dan warna merah tidak memiliki irisan.

Sehingga, kejadian muncul queen merah atau kartu hitam dihitung dengan

$\begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) \\ &= 2 + 26 \\ &= 28 \end{aligned}$

Pusing?

Jangan lupa minum bodrex.

Tugas?

No.

Thanks.