XII 3.3 : Aturan Perkalian

Setelah sebelumnya membahas tentang kejadian saling lepas dan aturan penjumlahan, maka kali ini kita akan membahas tentang Kejadian Saling Bebas dan Aturan Perkalian.

Silakan disimak ..

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

5. Kejadian Saling Bebas

Perhatikan konsep berikut ini …

Lihat contoh …

Contoh 1 :

Terdapat tiga jalan yang menghubungkan kota A dan kota B, dua jalan yang menghubungkan kota B ke kota C, serta empat jalan yang menghubungkan kota C ke kota D. Jika seseorang ingin bepergian dari kota A ke kota D, tentukan banyaknya pilihan rute yang mungkin ia pilih!

Jawab :

Jika ingin bepergian dari kota A ke kota D, maka harus melewati kota B dan C.

$A \to B : 3$ jalan
$B \to C : 2$ jalan
$C \to D : 4$ jalan

Jika digambarkan dalam jalur-jalur, maka rute dapat dilihat dalam gambar berikut …

Manakah rute yang bisa dilewati?

Misalnya, ini rute pertama …

A ke B lewat p, dilanjutkan
B ke C lewat s, dilanjutkan
C ke D lewat u,
Maka rutenya adalah p – s – u

Rute kedua adalah …
A ke B lewat p, dilanjutkan
B ke C lewat s, dilanjutkan lagi
C ke D lewat v,
Maka rutenya adalah p – s – v

Apakah rute pertama dan kedua berbeda?

JELAS.

Karena pada rute pertama, dari C ke D memilih u, sedangkan pada rute kedua memilih v.

Nah, pertanyaan selanjutnya adalah berapa banyakkah rute seperti ini yang bisa dipilih?

3 + 2 + 4?
9?

BUKAN. TERLALU SEDIKIT.

Andai saya daftarkan, maka rute yang bisa dipilih adalah :

1. p – s – u
2. p – s – v
3. p – s – w
4. p – s – x
5. p – t – u
6. p – t – v
7. p – t – w
8. p – t – x
9. q – s – u
10. q – s – v
11. q – s – w
12. q – s – x
13. q – t – u
14. q – t – v
15. q – t – w
16. q – t – x
17. r – s – u
18. r – s – v
19. r – s – w
20. r – s – x
21. r – t – u
22. r – t – v
23. r – t – w
24. r – t – x

Banyak kan ya?

🙂

Agar lebih mudah, maka kita bisa menggunakan metode lain untuk menentukan banyak rute yang bisa dipilih.

Jika pada kejadian saling lepas kita menggunakan aturan penjumlahan, maka pada kasus ini berbeda.

Kejadian pemilihan rute adalah dua kejadian saling bebas.

Apa itu kejadian saling bebas?

Kejadian saling bebas adalah kejadian pertama tidak mempengaruhi kejadian berikutnya.

Pada saat memilih rute dari kota A ke kota B, apapun rute yang akhirnya dipilih tidak akan mempengaruhi rute dari kota B ke kota C.

Contoh ini adalah contoh kejadian saling bebas.

Nah, jika ada 2 kejadian saling bebas, yakni $k_1$ tidak mempengaruhi $k_2$ artinya kejadian $k_1$ saling bebas dengan kejadian $k_2$, maka banyaknya kejadian $n(k_1 \cap k_2) = n(k_1) \times n(k_2)$

Misalkan,

$k_1$ adalah banyaknya pilihan rute dari kota A ke kota B.
$n(k_1) = 3$

$k_2$ adalah banyaknya pilihan rute dari kota B ke kota C.
$n(k_2) = 2$

$k_3$ adalah banyaknya pilihan rute dari kota C ke kota D.
$n(k_3) = 4$

Maka, banyak rute pilihan dari kota A ke kota D adalah

$\begin{aligned} n(k_1 \cap k_2 \cap k_3) & = 3 \times 2 \times 4 \\ &=24 \end{aligned}$

Jadi, banyak pilihan rute dari kota A ke kota D (dengan melewati kota B dan C) adalah $24$ pilihan.

6. Aturan Perkalian

Jika terdapat kejadian $k_1$ dam lekadoam $k_2$ yang mana kejadian $k_1$ tidak mempengaruhi kejadian $k_2$, artinya kejadian $k_1$ saling bebas dengan kejadian $k_2$, maka banyaknya kejadian $k_1$ dan $k_2$ yaitu :

$n(k_1 \cap k_2) = n(k_1) \times n(k_2)$

Contoh 3 :

Daniel akan membeli minuman. Pada sebuah toko minuman terdapat 3 pilihan jenis rasa, yaitu Coklat, Vanila dan Stroberi. Tersedia 2 jenis ukuran gelas masing-masing untuk masing-masing rasa tersebut, yaitu gelas berukuran 400 ml dan 500 ml. Toko tersebut menyediakan pilihan penyajian, yaitu panas dan dingin. Berapa pilihan yang dapat dipilih Daniel dalam membeli minuman?

Jawab :

Ada coklat, vanila dan stroberi.
Setiap rasa bisa memilih 400 ml atau 500 ml.
Setiap varian bisa memilih penyajian panas atau dingin.

Andai didaftar seluruh pilihan yang dapat dibeli, maka akan muncul daftar berikut :

1. Coklat (400 ml) panas
2. Coklat (400 ml) dingin
3. Coklat (500 ml) panas
4. Coklat (500 ml) dingin
5. Vanila (400 ml) panas
6. Vanila (400 ml) dingin
7. Vanila (500 ml) panas
8. Vanila (500 ml) dingin
9. Stroberi (400 ml) panas
10. Stroberi (400 ml) dingin
11. Stroberi (500 ml) panas
12. Stroberi (500 ml) dingin

Jika ingin menggunakan bagan, maka perhatikan gambar ini …

Jika kita misalkan,

$k_1$ : Pilihan rasa
$n(k_1) : 3$

$k_2$ : Ukuran kemasan
$n(k_2) : 2$

$k_3$ : Cara Penyajian
$n(k_3) : 2$

Maka banyak kemungkinan pilihan minuman yang bisa dipilih Daniel adalah

$\begin{aligned}n(k_1 \cap k_2 \cap k_3) &= 3 \times 2 \times 2 \\ &= 12 \end{aligned}$

Jadi, banyak pilihan minuman yang dapat dibeli Daniel adalah $12$ jenis.

Kesimpulan :

Jika kegiatan pertama dapat dikerjakan dengan $n_1$ cara yang berbeda, kegiatan kedua dapat dilakukan dengan $n_2$ cara yang berbeda, kegiatan ketiga dapat dilakukan dengan $n_3$ cara yang berbeda, dan seterusnya $\cdots$, kegiatan ke-$k$ dapat dikerjakan dengan $n_k$ cara yang berbeda, kemudian kejadian-kejadian itu tidak saling mempengaruhi, maka banyaknya cara untuk melakukan semua kegiatan tersebut secara berurutan dapat dituliskan sebagai berikut :

$n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdots \times n_k$

Contoh 3 :

Sandi memiliki 3 baju yang berbeda motifnya, dan 3 jenis celana berbeda, serta 2 dasi yang berbeda warna. Banyaknya cara Sandi memasangkan baju, celana serta dasinya adalah ….

A. 8
B. 9
C. 18
D. 24
E. 32

Jawab :

Misalkan,

Pilihan Baju, $n_1$ : 3
Pilihan Celana, $n_2$ : 3
Pilihan Dasi, $n_3$ : 2

Banyak pilihan memakai baju, celana dan dasi :

$n_1 \times n_2 \times n_3 = 3 \times 3 \times 2 = 18$

Jika dituliskan dalam ATURAN PENGISIAN TEMPAT, maka dapat dilakukan dengan cara berikut :

Jawaban C

Contoh 4 :

Tentukan banyak bilangan 3 digit angka yang bisa dibentuk dari angka $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6$ yang setiap angkanya :
a. boleh berulang
b. tidak boleh berulang

Jawab :

Kita jawab bagian a dulu

a. boleh berulang

Baca ulang soalnya.

Jadi dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun sebuah bilangan yang terdiri atas 3 digit.

Contoh bilangan yang tersusun adalah 111, 123, 145, 135, 156, 126, dan seterusnya.

Nah, pada bagian ini bilangan yang tersusun angka pembentuknya boleh berulang.

Yang mana dimaksud berulang?

Misalnya,
Bilangan yang terbentuk adalah $112$, angka $1$ pada $112$ kan berulang.
Bilangan yang terbentuk adalah $232$, angka $2$ pada $232$ kan berulang juga.
$444$, boleh …

(Nanti saat menjawab bagian b akan terlihat dimana bedanya, ikuti saja dulu)

Nah, agar lebih mudah kita akan menggunakan bagan …

Perhatikan polanya, bagan ini tidak lengkap ..

Bagan ini hanya untuk menggambarkan bagaimana susunan angka yang akan terbentuk..

Dapatkah kamu mendaftar semua bilangan itu? 😀

Mestinya bisa ya …

Cuma ya banyaknya pake banget.

Tapi jika kamu penasaran, ini dia bilangan yang terbentuk …

Itu banyaknya $216$ lho…

Yang antara 100 – 200 saja ada 36.

Kalau dikali 6, ya ada 216..

Tapi, cara ini tidak efektif.

Cara paling efektif adalah dengan aturan pengisian tempat.

Bagaimana cara menentukan angka pada pengisian tempat?

Untuk mengisi tanda tanya pada masing-masing kotak,

Tanyakan :

Pertama … Pada digit Ratusan..

Ada berapa angka yang bisa dijadikan sebagai digit Ratusan?

Dari angka yang tersedia,

Apakah $1$ boleh?

Apakah $2$ boleh?

$\vdots$

Apakah $6$ boleh?

Yang boleh di angka ratusan kan $1$ boleh, $2$ boleh, $3$ boleh, $4$ boleh, $5$ boleh dan $6$ juga boleh.

Kok semua boleh?

Ya kan memang semuanya bisa menjadi angka ratusan.

Karena semuanya boleh, maka bagian digit ratusan isinya adalah $1, 2, 3, 4, 5, 6 \to$ ada $6$ angka.

Setelah digit ratusan terisi, lanjut …

Pertanyaan kedua .. Pada digit puluhan …

Ada berapa angka yang boleh dijadikan digit puluhan?

JIKA …

JIKA …

JIKA Angka $1$ sudah berada pada digit ratusan, apakah angka $1$ masih boleh mengisi digit puluhan juga?

(Apakah juga berlaku sama untuk angka $2, 3, 4, 5,$ dan $6$?)

Nah, karena bagian ini kita bahas angka boleh berulang, maka ..

Jika Angka $1$ sudah di digit ratusan, angka $1$ masih boleh dijadikan digit puluhan …

Begitu juga,

Jika Angka $2$ sudah di digit ratusan, angka $2$ masih boleh dijadikan digit puluhan … Begitu seterusnya.

Angka yang terbentuk misalnya $11?$, $22?$, $33?$ dst …

Karena semuanya boleh (angka $1$ s.d $6$), maka bagian digit ratusan isinya adalah $1, 2, 3, 4, 5, 6 \to$ ada $6$ angka.

Lanjut …

Ada berapa angka yang bisa mengisi tempat satuan?

Apakah semua angka bisa?

Jika $1$ sudah di digit ratusan dan puluhan, apakah masih bisa di digit satuan?

Boleh juga. Karena angka boleh berulang.

Angka yang terbentuk misalnya $111, 112, 113, 114, \cdots, 211, 212, 213, \cdots, 222, 223, \cdots$

Berarti isinya ada $6$ juga.

So, kita dapat banyak angka yang boleh mengisi.

Sehingga, ditulis …

Jadi, banyak bilangan 3 digit yang terdiri atas angka $1, 2, 3, 4, 5$ dan $6$ adalah $216$ bilangan.

b. angka tidak boleh berulang

Pada bagian ini, angka pembentuk tidak boleh berulang. Sehingga pasti jumlah bilangan yang terbentuk akan lebih sedikit.

Manakah contoh angka yang tidak boleh berulang?

Misalnya ini … $123, 124, 125, \cdots, 234, 235, 236, \cdots, 345, 346, \cdots$

Ini berarti bilangan 3 digit yang akan terbentuk makin sedikit. Karena banyak bilangan yang tidak memenuhi syarat.

Kita kembali menggunakan aturan pengisian tempat.

Mengisi Ratusan

Ada berapa banyak angka yang bisa mengisi digit ratusan?

Apakah $1$ boleh? Boleh..

$2$ boleh? Boleh juga..

$3$? Boleh ..

$4$? Boleh ..

$5$ boleh, $6$ juga.

Sehingga yang boleh mengisi digit ratusan ada $6$ angka.

Mengisi Puluhan

JIKA angka $1$ sudah mengisi digit ratusan, apakah $1$ masih boleh mengisi digit puluhan?

Nggak boleh.

Kok nggak boleh?

Karena jika $1$ sudah di digit ratusan, dan $1$ kemudian jadi digit puluhan, maka bilangan yang terbentuk angkanya akan berulang. Misalnya 11x ..

Angka 11x ini menyalahi aturan angka tidak boleh berulang.

Ok.

Jika $1$ tak boleh, apakah $2$ boleh?

$2$ boleh. Karena bilangan 12x berarti digit tidak berulang.

$3, 4, 5, 6$ juga boleh.

Nah, berarti JIKA $1$ sudah mengisi digit ratusan, angka yang bisa mengisi digit puluhan adalah $2, 3, 4, 5$ dan $6$. Jumlahnya ada 5.

$\vdots$

Hal ini juga berlaku jika angka $2$ ada pada digit ratusan. Maka yang bisa mengisi digit satuan cuma ada $5$ angka, yaitu $1, 3, 4, 5, 6$

$\vdots$

Hal ini juga berlaku jika angka $3$ mengisi digit ratusan. Maka yang boleh mengisi digit satuan cuma ada $5$ angka, yaitu $1, 2, 4, 5, 6$

Begitu seterusnya.

Sehingga angka pada puluhan jumlahnya pasti ada $5$.

Mengisi Satuan

Jika $1$ sudah di ratusan, angka $2$ sudah di digit puluhan, angka berapa lagi yang bisa pada digit satuan?

$1$ & $2$ sudah tidak boleh lagi berada pada digit satuan, yang boleh hanya $3, 4, 5, 6$. Ada $4$ angka.

Hal sama juga berlaku untuk angka lainnya.

Sehingga kita bisa mengisi aturan pengisian tempat sebagai berikut …

Jadi, banyak bilangan 3 digit yang bisa dibentuk dari angka $1, 2, 3, 4, 5, 6$ dengan syarat angka tidak boleh berulang adalah $120$ bilangan.

Contoh 5 :

Dari angka 0, 1, 3, 4 dan 5 akan dibentuk bilangan ribuan. Tentukanlah :
a. Banyaknya bilangan ribuan yang genap
b. Banyaknya bilangan ribuan yang terdiri dari 4 angka berbeda dan lebih dari 3.000

Jawab :

a. Bilangan Ribuan yang Genap

Bilangan ribuan berarti terdiri atas 4 digit, maka kita akan mengisi 4 kotak.

Karena tidak ada petunjuk tentang apakah angka boleh berulang atau tidak, maka kita anggap angka boleh berulang ya …

Digit Ribuan

Angka yang boleh mengisi digit ribuan adalah : $1, 3, 4, 5$.

Kenapa angka $0$ tidak boleh pada digit ribuan?

Jika terbentuk angka $0134$ = $134$, angka ini bukan ribuan, tapi ratusan.

Oke, sehingga digit ribuan bisa diisi $4$ angka berbeda.

Digit Ratusan

Jika $1$ sudah mengisi ribuan, angka yang boleh mengisi digit ratusan adalah $0, 1, 3, 4, 5$. Jumlahnya ada $5$.

Jumlahnya juga pasti sama saat $3, 4, 5$ mengisi digit ribuan.

Digit Puluhan

Angka yang bisa mengisi digit puluhan adalah $5$ angka.

Kok bisa?

Digit Satuan

Karena kita akan membentuk bilangan genap, maka bilangan harus ber-satuan genap. Maka yang boleh mengisi tempat genap hanya $0$ dan $4$.

Kok bisa?

Sehingga isian pada satuan ada $2$ angka.

Diisilah aturan pengisian tempat sebagai berikut …

Oke, oke .. Silakan dipelajari.

b. Bilangan yang lebih dari 3.000

Coba temukan jawabannya..

Isilah tanya ? pada kotak berikut …

Silakan …

Selamat belajar ..