XII 3.7 : Permutasi

Setelah sebelumnya membahas tentang notasi faktorial, maka kali ini kita akan membahas tentang Permutasi.

Silakan disimak ..

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

B. Permutasi

Permutasi adalah banyaknya urutan yang mungkin dibentuk dari objek-objek yang tersedia dengan memperhatikan urutannya.

1. Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah $P_{(n,n)} = n!$ atau $_nP_n = n!$

Contoh:

Untuk menyambut sebuah pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara, panitia akan memasang kelima bendera dari lima negara yang hadir. Banyak cara panitia menyusun kelima bendera tersebut adalah…

Jawab:

Dari lima bendera yang ada, berarti n = 5, maka banyak susunan bendera yang mungkin yaitu:

$5! = 5.4.3.2.1 = 120$ cara.

2. Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen, dengan r ≤ n

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan r≤n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah:

$P_{(n, r)} = _nP_r = P_r^n = \frac {n!}{(n-r)!}$
Syarat : Urutan diperhatikan

Contoh:

Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekretaris dan bendahara dari 5 siswa yang tersedia adalah…

Jawab:

Banyak siswa, n = 5

Ketua, sekretaris dan bendahara (banyak pilihan objek), r = 3

Maka:

$P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!}$
$P_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5.4.3.\textcolor{red}{2!}}{\textcolor{red}{2!}} = 5.4.3 = 60$ cara

3. Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama

$P_{(n, k_1, k_2, k_t)} = \frac{n!}{k_1!k_2!…k_t!}$

Keterangan:

n    = banyaknya elemen seluruhnya

k₁  = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama

k₂  = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama

…

k_t   = banyaknya elemen kelompok kt yang sama

t = 1,2,3,…

Contoh:

Banyak cara untuk menyusun dari kata ”BASSABASSI” adalah…

Jawab:

Dari kata ”BASSABASSI”, banyak huruf (n) = 10

k₁ = huruf B = 2

k₂ = huruf A = 3

k₃ = huruf S = 4

k₄ = huruf I = 1

$P_{(10, 2, 3, 4, 1)} = \frac{10!}{2! 3! 4! 1!} = \frac{10.9.8.7.\textcolor{blue}{6}.5.\textcolor{red}{4!}}{2.1.\textcolor{blue}{3.2.1}.\textcolor{red}{4!}.1)} = 12.600$ cara

4. Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

$_nP_{siklis} = (n-1)!$

Contoh:

Dari 5 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, banyak cara susunan yang dapat dibuat dari 5 orang tersebut adalah…

Jawab:

Banyak orang (n) = 5, maka :

$_5P_{(siklis)} = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24$ cara.

5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

$P_n = n^k$

Contoh:

Banyak susunan 3 bilangan dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 adalah…

Jawab:

Banyak susunan 3 bilangan, berarti bilangan ratusan, k = 3
Banyak angka yang akan disusun, n = 6
Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6:

$P_6 = 6^3 = 216$ susunan

Okeh …

Silakan cek video berikut ya ..