XI 5.6 : Deret Geometri Tak Hingga

Setelah pertemuan sebelumnya kita membahas tentang Deret Geometri, maka sekarang kita akan lanjutkan dengan deret geometri tak hingga.

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

D. Deret Geometri Tak Hingga

Jika kita perhatikan pada deret aritmatika, dan mencoba menghitung jumlah deret aritmatika hingga suku ke-tak hingga, maka kita akan dapatkan hasil Tak Hingga $(\infty)$

Misalkan deret aritmatika dengan beda positif berikut …

$3 + 6 + 9 + 12 +15 + …$

Beda pada deret aritmatika ini adalah $3$. Untuk menemukan suku berikutnya maka kita tinggal menambahkan suku sebelumnya dengan $3$.

Makin ke kanan, suku deret aritmatika ini akan semakin besar menuju nilai tak hingga $(\infty)$, sehingga jika dijumlahkan maka hasilnya juga tak hingga $(\infty)$.

Bagaimana jika beda-nya negatif seperti deret aritmatika berikut ini…

$8 + 5 + 2 + (-1) + (-4) + …$

Beda pada barisan ini adalah $-3$

Semakin ke kanan, sukunya akan semakin kecil. Berarti bilangan yang paling kanan adalah bilangan negatif yang sangat-sangat-sangat-sangat-…-sangat kecil. 😀

Jika kita berniat menjumlahkan tak hingga banyak suku pada deret aritmatika $8 + 5 + 2 + (-1) + (-4) + …$ maka kita akan mendapatkan hasil bilangan negatif tak hingga $(-\infty)$.

Bagaimana jika ini dilakukan terhadap deret geometri?

Untuk masalah ini, pada deret geometri terdapat beberapa kasus.

1. Deret Geometri untuk |r| > 1

Pada deret geometri dengan |r| > 1, maka jumlah deret tak hingga-nya adalah divergen atau tidak ada nilainya.

Ingat, nilai mutlak $|r| = r$ jika $r > 0$, dan $|r|= -r$ jika $r < 0$

Contoh 1 :

Perhatikan deret geometri dengan rasio $2$ di bawah ini

$1 + 2 + 4 + 8 + …$

Semakin ke kanan, maka sukunya akan semakin besar menuju tak hingga.

Jika kita menjumlahkan suku-sukunya sampai tak hingga, berarti kita menjumlahkan tak hingga banyak bilangan yang besarnya juga menuju tak hingga.

Hasilnya? ya menuju tak hingga $(\infty)$ juga.

Dan ingat, tak hingga $(\infty)$ itu bukan merupakan sebuah bilangan, tapi nilai yang terus bergerak. Sehingga jumlah tak hingga deret itu adalah tak hingga $(\infty)$.

Inilah yang disebut dengan deretnya divergen.

Contoh 2 :

Misalkan rasio-nya adalah $-2$ seperti deret berikut ini

$1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + …$

Nilai mutlak dari $-2$ adalah $2$.

Berarti pada deret ini, $|r| \geq 1$.

Deret ini bisa kita kelompokkan menjadi berikut ini..

$1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + …$
$(1 – 2) + (4 – 8 ) + (16 – 32) + …$
$(-1) + (-4) + (-16) + …$

Deret $(-1) + (-4) + (-16) + …$ adalah deret baru dengan suku negatif dan rasio $4$.

Jika kita jumlahkan suku-sukunya, maka kita akan mendapatkan hasil negatif tak hingga $(-\infty)$

TAPI …

Jika kita kelompokkan deret $1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + …$ dengan cara berbeda, bisa kita dapatkan bentuk berikut

$1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + …$
$1 + (-2 + 4) + (-8 + 16) + (-32 + 64) + …$
$1 + 2 + 8 + 32 + …$

Eh, pada bentuk ini kalo dihasilkan malah jadi positif tak hingga $(\infty)$

Yang mana yang benar ya? $-\infty$ atau $\infty$?

Jadi, karena bentuk ini tak menuju satu nilai yang pasti maka deret ini juga divergen atau tidak ada hasilnya.

2. Deret Geometri untuk |r|< 1

Ini berlaku untuk deret geometri dengan $|r|<1, r \neq 0$

Contoh 3 :

Perhatikan deret berikut ini …

$1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+…$

Rasio pada deret ini adalah $\frac{1}{2}$

Jika kita jumlahkan, berapakah jumlah deret ini?

Tak sama seperti bentuk sebelumnya tak memberikan hasil, maka pada deret ini ada hasilnya.

Dengan menggunakan pendekatan geometri, dengan menganggap bahwa suku $1$ pada deret geometri di atas adalah luas 1 satuan, maka kita akan dapatkan gambar berikut ini …

Semakin lama, suku pada deret geometri itu akan semakin kecil dan memenuhi ruang kosong yang tersedia pada bagian sebelah kanan.

Sehingga, jika kita perhatikan, maka terdapat 2 satuan di gambar.

$1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{16}+ \frac{1}{32}+… = 2$

Secara matematis, untuk menghitung jumlah deret tak hingga dengan $|r| < 1, r \neq 0$ dapat digunakan rumus berikut …

$S_\infty = \frac{a}{1-r}$

Darimana asal rumus ini?

Lihat rumus dasar menghitung deret geometri hingga suku ke-$n$ berikut

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

Check Pemahaman…
Karena $|r|<1$, maka saat $n \to \infty$ nilai $r^n \to 0$
Misal $r = \frac{1}{2}$, maka $\frac{1}{2}^\infty = ..?$
Makin kecil bukan?! Itulah akhirnya akan menuju $0$.
Karena $r^n \to 0$, dapat ditulis …

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$
$S_\infty = \frac{a(1-0)}{1-r}$
$S_\infty = \frac{a(1)}{1-r}$
$S_\infty = \frac{a}{1-r}$

Contoh 4 :

Tentukanlah jumlah deret geometri berikut ini …

$48 + 16 + \frac{16}{3} + \frac{16}{9} + … $

Jawab :

Diketahui :

$a = 48$
$r = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}$

Ditanyakan :

$S_\infty = …?$

Jawab :

$\begin{aligned}S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\ S_\infty &= \frac{48}{1-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{48}{\frac{2}{3}} \\ &= 48 \times \frac{3}{2}\\ &= \frac{144}{2} \\ &= 72 \end{aligned}$

Jadi, jumlah deret $48 + 16 + \frac{16}{3} + \frac{16}{9} + … $ hingga suku ke tak hingga adalah $72$.

Contoh 5 :

Tentukan jumlah tak hingga suku dari deret berikut ini …

$5 + \frac{5}{4} + \frac{5}{16} + \frac{5}{64} + …$

A. $20$
B. $\frac{20}{3}$

3. Jumlah Deret Geometri Tak Hingga Suku Ganjil

Jika kita ingin menjumlahan deret geometri pada suku ganjil (suku pada urutan ganjil), maka kita perlu perhatikan hal berikut …

$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + …$
$a + a.r + a.r^2 + a.r^3 + a.r^4 + …$

Karena yang akan dijumlahkan adalah suku ganjil, maka yang kita ambil hanyalah

$U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + …$
$a + a.r^2 + a.r^4 + a.r^6 + …$

$\boxed{S_{\infty(ganjil)} = \frac{a}{1-r^2}}$

Contoh 6 :

Tentukan $S_{\infty(ganjil)}$ pada deret berikut ini …

$18 + 12 + 8 + …$

Jawab :

Diketahui :

$a = 18$
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

Ditanyakan :

$S_{\infty(ganjil)} = …?$

Jawab :

$\begin{aligned}S_{\infty(ganjil)} &= \frac{a}{1-r^2} \\ S_{\infty(ganjil)} &= \frac{18}{1-(\frac{2}{3})^2} \\ &= \frac{18}{1-\frac{4}{9}} \\ &= \frac{18}{\frac{5}{9}} \\ &= 18 \times \frac{9}{5} \\ &= \frac{162}{5} \end{aligned}$

Jadi, jumlah suku tak hingga suku ganjil pada deret $18 + 12 + 8 + …$ adalah $\frac{162}{5}$

Contoh 7 :

Tentukan jumlah tak hingga suku ganjil pada deret berikut …

$(-9) + 3 + (-1) + (\frac{1}{3}) + …$

A. $\frac{729}{80}$
B. $\frac{81}{8}$
C. $-\frac{729}{80}$
D. $-\frac{81}{8}$

4. Jumlah Deret Geometri Tak Hingga Suku Genap

Jika kita ingin menjumlahan deret geometri pada suku genap (suku pada urutan genap), dengan pendekatan yang sama pada bagian sebelumnya, maka kita dapat gunakan rumus berikut …

$\boxed{S_{\infty(genap)} = \frac{ar}{1-r^2}}$

Jika jumlah tak hingga suku ganjil dan jumlah tak hingga suku genap kita jumlahkan, maka pasti akan menemukan jumlah suku tak hingga deret geometri.

Jika
$S_{\infty(ganjil)} = \frac{a}{1-r^2}$
$S_{\infty(genap)} = \frac{ar}{1-r^2}$
$S_\infty = \frac{a}{1-r}$

Maka,

$\begin{aligned}S_{\infty(ganjil)}+S_{\infty(genap)} &= \frac{a}{1-r^2}+\frac{ar}{1-r^2} \\ &=\frac{a+ar}{1-r^2} \\ &= \frac{a\textcolor{red}{(1+r)}}{(1-r)\textcolor{red}{(1+r)}} \\ &=\frac{a}{1-r}\end{aligned}$

So, $S_{\infty(ganjil)}+S_{\infty(genap)} = S_\infty$

Contoh 8 :

Tentukan jumlah tak hingga suku genap pada deret berikut ini …

$18 + 12 + 8 + …$

Jawab :

Diketahui :

$a = 18$
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac {12}{18} = \frac{2}{3}$

Ditanyakan :

$S_{\infty(genap)} = …?$

Penyelesaian :

$\begin{aligned}S_{\infty(genap)} &= \frac{ar}{1-r^2} \\ S_{\infty(genap)} &= \frac{18.\frac{2}{3}}{1-(\frac{2}{3}^2)} \\ &= \frac{12}{1-(\frac{4}{9})} \\ &= \frac{12}{\frac{5}{9}} \\ &= 12 \times \frac{9}{5} \\ &= \frac{108}{5} \end{aligned}$

Jadi, jumlah tak hingga suku genap pada deret $18 + 12 + 8 + …$ adalah $\frac{108}{5}$

Contoh 9 :

Tentukan jumlah tak hingga suku genap pada deret berikut ini …

$(-9) + 3 + (-1) + (\frac{1}{3}) + …$

A. $-\frac{27}{8}$
B. $\frac{27}{8}$
C. $\frac{8}{9}$
D. $-\frac{8}{9}$

Selamat belajar …