Setelah pertemuan sebelumnya kita membahas tentang Deret Geometri Tak Hingga, maka sekarang kita akan lanjutkan dengan materi terakhir pada bab ini, yakni aplikasi deret aritmatika & deret geometri.
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
D. Aplikasi Deret Aritmatika & Deret Geometri
1. Bunga Tunggal
a. Rumus Umum Bunga Tunggal
Contoh 1 :
X menabung di bank sebesar Rp. 300.000 dengan bunga tunggal 5% per tahun. Tentukan besar bunga yang didapat X setelah menabung selama 6 bulan!
Jawab :
Masalah ini berkaitan dengan bunga tunggal.
Kita akan manfaatkan rumus
$\boxed{b = i \times M_0 \times n}$
dengan
$b =$ besar bunga per periode
$i =$ persentase bunga
$M_0 = $ modal awal
$n =$ lama waktu
Diketahui :
$i = 5%/$ tahun
$M_0 = 300.000$
$n = 6$ bulan = $\frac{6}{12}$ tahun $= 0,5$ tahun (Karena bunga 5% berlaku per tahun, maka harus diubah menjadi satuan bulan. 1 tahun = 12 bulan, maka 6 bulan = $\frac{6}{12}$ tahun = $0,5$ tahun)
Ditanyakan :
$b = …?$
Penyelesaian :
$\begin{aligned}b &= i \times M_0 \times n \\ &= 5\% \times 300.000 \times 0,5 \\ &= \frac{5}{100} \times 300.000 \times 0,5 \\ &= 0,05 \times 300.000 \times 0,5 \\ &= 7.500 \end{aligned}$
Jadi, setelah 6 bulan, bunga yang ia dapatkan adalah $Rp. 7.500$
Contoh 2 :
A menabung pada sebuah bank sebesar M dengan bunga tunggal $10 \%$ per tahun. Jika dalam $15$ bulan A mendapatkan bunga sebesar $Rp. 1.500.000$, maka besar M adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$b =$ 1.500.000 $\to$ bunga setelah 15 bulan.
$n = 15$ bulan = $\frac{15}{12}$ tahun $\to$ bunga dalam tahun, sehingga harus diubah dari bulan menjadi tahun. 15 bulan berarti $\frac{15}{12}$ tahun.
$i = 10 \% = \frac{10}{100} \to$ bunga per tahun adalah $10\%$.
Ditanyakan :
Modal Awal = $M = M_0$ = …?
Penyelesaian :
Pada rumus sebelumnya kita sudah hitung …
$b = i \times M_0 \times n$
$1.500.000 = \frac{10}{100} \times M \times \frac{15}{12}$
$1.500.000 = M \times \frac{150}{1200}$
$M = \frac{1.500.000}{\frac{150}{1200}}$
$M = \textcolor{red}{1.50}0.000 \times \frac{1200}{\textcolor{red}{150}}$
$M = 12.000.000$
Jadi, tabungan awal A adalah $Rp. 12.000.000$
Latihan 1.1 :
Y menaruh uang di bank sebesar Rp. 200.000 dengan bunga tunggal $1 \%$ per bulan. Besar bunga yang didapat Y setelah 7 bulan adalah ….
A. $7.000$
B. $14.000$
Latihan 1.2 :
Badu menyimpan uangnya di bank sebesar Rp. 250.000 dengan bunga tunggal $8 \%$ per tahun. Besar bunga yang diterima Badu setelah menabung selama 9 bulan adalah ….
A. $Rp. 12.000$
B. $Rp. 13.000$
C. $Rp. 14.000$
D. $Rp. 15.000$
E. $Rp. 16.000$
Latihan 1.3 :
Mira menyimpan uangnya di bank sebesar $Rp. 450.000$ dengan bunga tunggal $2,5 \%$ per bulan. Besar bunga yang diterima Mira setelah menabung selama 6 bulan adalah ….
A. $Rp. 57.500$
B. $Rp. 62.500$
C. $Rp. 67.500$
D. $Rp. 72.500$
E. $Rp. 77.500$
b. Rumus Umum Tabungan setelah n tahun
Contoh 3 :
B menabung pada sebuah bank dengan bunga tunggal sebesar M dengan bunga tunggal $8 \%$ per tahun. Setelah 3 bulan B menarik seluruh uangnya sebesar $Rp. 1.020.000$. Besar M adalah …
Jawab :
Tabungan Akhir = Tabungan Awal + Bunga
$M_n = M_0 + (M_0 \times n \times i)$
$\boxed{M_n = M_0 (1 + n \times i)}$
$M_n =$ Tabungan Akhir
$M_0 =$ Modal
$n =$ Periode
$i =$ Persentase bunga
Diketahui :
$M_n =$ 1.020.000 $\to$ tabungan akhir.
$n = 3$ bulan = $\frac{3}{12}$ tahun $\to$ bunga dalam tahun.
$i = 8 \% = \frac{8}{100} \to$ bunga per tahun adalah $8\%$.
Ditanyakan :
Modal Awal = $M = M_0$ = …?
Penyelesaian :
$M_n = M_0 (1 + n \times i)$
$1.020.000 = M_0 (1 + \frac{3}{12} \times \frac{8}{100})$
$1.020.000 = M(1 + \frac{2}{100})$
$1.020.000 = M (\frac{100}{100}+\frac{2}{100})$
$1.020.000 = M (\frac{102}{100})$
$M = \frac{1.020.000}{\frac{102}{100}}$
$M = 1.020.000 \times \frac{100}{102}$
$M = 1.000.000$
Jadi, tabungan awal B adalah $Rp. 1.000.000$
Latihan 1.4 :
C menabung di bank dengan bunga tunggal sebesar $8 \%$ per tahun. Jika C menabung selama $9$ bulan dan mendapatkan bunga sebesar $Rp. 48.000$, maka besar uang tabungan awal yang disetorkan oleh C adalah ….
A. $Rp. 700.000$
B. $Rp. 800.000$
2. Bunga Majemuk
Jika
$M_0 =$ tabungan awal
$i =$ persentase bunga
$n =$ lama periode penyimpanan uang
$M_n =$ tabungan setelah $n$ periode,
Maka
$\boxed{M_n = M_0 (1 + i)^n}$
Contoh 4 :
T menabung di bank sebesar $Rp. 400.000$ dengan bunga majemuk sebesar $10 \%$ per tahun. Besar tabungan T setelah 2 tahun adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$M_0 = 400.000$
$i = 10 \%$ per tahun
$n = 2$ tahun
Ditanyakan :
$M_n = …?$
Jawab :
Karena $n = 2$ tahun, maka
$\begin{aligned}M_n &= M_0 (1 + i)^n \\ M_2 &= M_0 (1 + i)^2 \\ M_2 &= 400.000 (1 + 10 \%)^2 \\ &= 400.000(1 + 0,1)^2 \\ &= 400.000(1,1)^2 \\ &= 400.000(1,21) \\&= 484.000 \end{aligned}$
Jadi, setelah 2 tahun, tabungan T akan menjadi $Rp. 484.000$
Contoh 5 :
P menabung di bank dengan bunga majemuk sebesar $5 \%$ per tahun sebesar $Rp. 300.000$. Besar tabungan P setelah 2 tahun adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$M_0 = 300.000$
$n = 2$ tahun
$i = 5 \%$ per tahun
Ditanyakan :
$M_2 = …?$
Karena $n = 2$ tahun, maka
$\begin{aligned}M_n &= M_0 (1 + i)^n \\ M_2 &= M_0 (1 + i)^2 \\ M_2 &= 300.000 (1 + 5 \%)^2 \\ &= 300.000(1 + 0,05)^2 \\ &= 300.000(1,05)^2 \\ &= 300.000(1,1025) \\&= 330.750 \end{aligned}$
Jadi, setelah 2 tahun tabungan P menjadi $Rp. 330.750$
Contoh 6 :
T menabung di bank dengan bunga majemuk $20 \%$ per tahun sebesar $Rp. 400.000$ dengan periode pembungaan selama 6 bulan. Besar tabungan setelah 1 tahun adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$M_0 = 400.000$
$i = 20 \%$ per tahun, karena pembungaan berlaku setiap 6 bulan, maka dalam 1 tahun bunga yang berlaku adalah $\frac{20 \%}{2}$
$n = 1$ tahun = $2 \times 6$ pembungaan. Nilai $n = 2$
Ditanyakan :
$M_n = …?$
Penyelesaian :
$\begin{aligned}M_n &= M_0 (1 + i)^n \\ M_2 &= M_0 (1 + i)^2 \\ M_2 &= 400.000 (1 + \frac{20 \%}{2})^2 \\ &= 400.000(1 + 10 \%)^2 \\ &= 400.000(1 + 0,1)^2 \\ &= 400.000 (1,1)^2 \\ &= 400.000(1,21) \\&= 484.000 \end{aligned}$
Latihan 2.1 :
Andi menabung di bank sebesar $Rp. 200.000$. Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga majemuk sebesar $20 \%$ per tahun, maka besar tabungan Andi setelah 2 tahun adalah ….
A. $Rp. 240.000$
B. $Rp. 244.000$
C. $Rp. 280.000$
D. $Rp. 284.000$
E. $Rp. 288.000$
Latihan 2.2 :
P menabung di bank dengan bunga majemuk $15 \%$ per tahun sebesar $Rp. 300.000$ dengan periode pembungaan selama $4$ bulan. Besar tabungan P setelah 8 bulan adalah ….
A. $Rp. 330.750$
B. $Rp. 325.500$
3. Pertumbuhan
Contoh 7 :
Pak Jaka membeli sebuah tanah di daerah Cibubur dengan harga $Rp. 100.000.000$/ha. Jika di daerah tersebut harga tanah naik sebesar $20 \%$ per tahun, maka harga tanah setelah 3 tahun adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$M_0 = 100.000.000$
$i = 20 \%$ per tahun
$n = 3$ tahun
Ditanyakan :
$M_3 = …?$
Penyelesaian :
$\begin{aligned}M_n &= M_0 (1 + i)^n \\ M_3 &= 100.000.000 (1 + 20 \%)^3 \\ &= 100.000.000 (1 + 0,2)^3 \\ &= 100.000.000 (1,2)^3 \\ &= 100.000.000 (1,728) \\ &= 172.800.000 \end{aligned}$
Jadi, harga tanah setelah 3 tahun sekitar $Rp. 172.800.000$
Contoh 8 :
Pada tahun 2016 sebidang tanah memiliki harga jual $Rp. 150.00.000$ dan seiring berjalannnya waktu harga jual tanah tersebut meningkat %15 \%$ setiap tahunnya. Tentukan prediksi harga tanah tersebut pada tahun 2021!
Jawab :
Diketahui :
$M_0 = 150.000.000$
$i = 15 \%$ per tahun
$n = 5$ tahun
Ditanyakan :
$M_0 = ….?$
Penyelesaian :
$\begin{aligned}M_n &= M_0 (1 + i)^n \\ M_3 &= 150.000.000 (1 + 15 \%)^5 \\ &= 150.000.000 (1 + 0,15)^5 \\ &= 150.000.000 (1,15)^3 \\ &= 150.000.000 (2,011) \\ &= 301.703.578 \end{aligned}$
Jadi, estimasi harga tanah di 2021 adalah $301.703.578$.
Latihan 3.1 :
Dian membeli rumah di suatu perumahan dengan harga $Rp. 150.000.000$. Jika harga rumah di perumahan tersebut naik $10 \%$ setiap tahun, maka harga rumah Dian setelah $2$ tahun adalah ….
A. $Rp. 166.500.000$
B. $Rp. 174.500.000$
C. $Rp. 180.000.000$
D. $Rp. 181.500.000$
E. $Rp. 210.000.000$
4. Peluruhan
Contoh 9 :
Harga mobil sedan mengalami penurunan setiap tahun sebesar $5 \%$. Budi membeli mobil sedang dengan harga $Rp. 1.000.000.000$ pada tahun 2018. Tentukan perkiraan harga mobil sedan bekas tersebut pada tahun 2021?
Jawab :
Diketahui :
$M_0 = 1.000.000.000$
$i = 5 \%$
$n = 3$ tahun
Ditanyakan :
$M_3 = …?$
Beda waktu antara $2021 – 2018 = 3$ tahun
Penyelesaian :
$\begin{aligned}M_n &= M_0 (1 – i)^n \\ M_3 &= 1.000.000.000 (1 – 5\%)^3 \\ &= 1.000.000.000 (1 – 0,05)^3 \\ &= 1.000.000.000 (0,95)^3 \\ &= 1.000.000.000 (0,857375) \\ &= 857.375.000 \end{aligned}$
Jadi, pada 2021 harga mobil sedang bekas tersebut sekitar $Rp. 857.375.000$.
Latihan 4.1 :
Diketahui sebuah zat dapat membunuh bakteri dalam ruang sebanyak $20\%$ setiap jam. Jika diketahui saat ini terdapat $1.200.000$ bakteri dalam ruang, maka jumlahnya menjadi sebanyak $393.216$ bakteri setelah … jam.
A. $20$ jam
B. $24$ jam
*Note : Gunakan rumus peluruhan untuk menyelesaikan masalah ini.
5. Anuitas
Contoh 10 :
K meminjam uang di bank sebesar M akan dilunasi dengan anuitas bulanan selama 1 tahun dengan suku bunga $1 \%$ per bulan sebesar $Rp. 200.000$, besarnya pinjaman K adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$A = 200.000$
$i = 1 \% = 0,01$
$t = 1$ tahun = $12$ bulan. Diubah ke bulan karena suku bunga berlaku per bulan juga.
Ditanyakan :
Besar pinjaman = $M_0 = …?$
Penyelesaian :
Rumus Umum Anuitas :
$\begin{aligned}A &= \frac{M \times i}{1 – (1 + i)^{-t}} \\ 200.000 &= \frac{M_0 \times 0,01}{1 – (1+0,01)^{-12}} \\ 200.000 \times [1 – (1+0,01)^{-12} &= M \times 0,01 \\ M \times 0,01 &= 200.000 \times [1 – (1+0,01)^{-12}] \\ M &= \frac{200.000 \times [1 – (1+0,01)^{-12}]}{0,01} \\ &\approx 2.251.015 \end{aligned}$
Jadi, besar pinjaman K adalah Rp. 2.251.000
Latihan 4.1 :
Suatu pinjaman sebesar $Rp. 4.500.000$ akan dilunasi dengan anuitas bulanan selama 1,5 tahun dengan suku bunga $2 \%$ per bulan. Besarnya anuitas adalah ….
A. $Rp. 250.000$
B. $Rp. 300.159$
Cukuplah sampai di sini.
Selamat bersiap untuk ulangan harian ya …