Pada bab ini kita akan mempelajari tentang limit fungsi aljabar. Semoga bermanfaat yah …
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
Kita akan membahas tentang bagaimana konsep dan sifat-sifat limit, kemudian akan menghitung cara menghitung limit aljabar.
Di bab ini kita akan mempelajari 3 sub bab, yaitu :
A. Konsep Limit Fungsi
B. Sifat-sifat Limit Fungsi
C. Menemukan Nilai Limit Fungsi
Kita mulai ya …
A. Konsep Limit Fungsi
Apa Itu Limit?
Limit secara sederhana bisa diartikan batas. Dalam matematika dimaknai sebagai pendekatan.
Limit nantinya kita gunakan untuk membantu kita untuk mengetahui nilai pendekatan dari suatu fungsi. Kenapa pendekatan?
Karena ada fungsi-fungsi yang tidak terdefinisi pada nilai variable tertentu, tetapi sebenarnya dapat ditentukan dengan pendekatan nilai fungsinya, yakni pada variabel yang dekat dengan variabel tersebut.
$\odot$ Contoh Fungsi Sederhana $\odot$
Contoh sederhananya adalah fungsi berikut ini…
Misalkan kita punya fungsi $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$.
Bisakah kamu hitung, bagaimana nilai $f(x)$ saat $x=2$?
Hayuk disubtitusi!
Saat $x=2$, maka nilai fungsinya akan menjadi berikut ini
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to$ subtitusi $x=2$ menjadi
$f(2)=\frac{2^2-4}{2-2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0} \to$ (bentuk tak tentu)
Eh, kok $\frac{0}{0} =$tak tentu sih?
Gini-gini …
Kita mulai dari yang sederhana untuk menjawab alasan $\frac{0}{0}=$bentuk tak tentu.
$0 \times 1 = 0$
$0 \times 2 = 0$
$0 \times 5.000 = 0$
$0 \times 1.000.000 = 0$
Ya toh …
Ingat lagi, perkalian adalah kebalikan dari pembagian.
Kita menulis $3 \times 4 = 12$, juga bermakna $4 = \frac{12}{3}$
Kita menulis $5 \times 2 = 10$, juga bermakna $2 = \frac{10}{5}$
Nah, pada kasus $0 \times 1 = 0$ dan kawan-kawan, bisa kita tulis begini dong ya …
$0 \times 1 = 0 \to 1 = \frac{0}{0} \to \frac{0}{0} = 1$
$0 \times 2 = 0 \to 2 = \frac{0}{0} \to \frac{0}{0} = 2$
$0 \times 5.000 = 0 \to 5.000 = \frac{0}{0} \to \frac{0}{0} = 5.000$
$0 \times 1.000.000 = 0 \to 1.000.000 = \frac{0}{0} \to \frac{0}{0} = 1.000.000$
Lah, yang mana yang benar nih? $\frac{0}{0} = 1$, atau $\frac{0}{0} = 2$, $\frac{0}{0} = 5.000$ atau $\frac{0}{0} = 1.000.000$ atau malah semua bilangan bisa benar?
Ya, semua bilangan bisa menjadi jawaban atas pertanyaan $\frac{0}{0}$.
Karena tidak ada satu jawaban pasti (dan semuanya benar), itulah alasan $\frac{0}{0}$ disebut sebagai bentuk tak tentu.
Pada limit, bentuk tak tentu ini bukan jawaban. Pasti ada jawaban lain.
Ada beberapa bentuk lain selain $\frac{0}{0}$ yang juga tak tentu.. Misalnya $\frac{\infty}{\infty}, 0 \times \infty, \infty + \infty, 0^0, 1^\infty$, dan $\infty^0$
Oke, kita kembali ke urusan limit.
$\odot$ Simbol Limit $\odot$
Simbol limit dituliskan sebagai berikut :
$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$
Cara bacanya : Limit x menuju c dari f(x)
Dengan c adalah bilangan real.
Artinya, kita akan mencari $f(x)$ saat x itu sangat dekat dengan nilai $c$.
Tapi nilai ini bisa ada, bisa juga tidak ada.
Nilai limit dari suatu fungsi ada, jika :
Limit Kiri = Limit Kanan, disimbolkan dengan
$\displaystyle \lim_{x\to c^-} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to c^+} f(x)$
Tanda $c^-$ menandakan didekati dari kiri, sedangkan $c^+$ menandakan didekati dari kanan.
$\odot$ Contoh 1 : Menentukan Nilai Suatu Fungsi $\odot$
Pada bentuk $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ saat $x=2$ maka nilainya menjadi
$f(2)=\frac{2^2-4}{2-2} = \frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0} \to$ (bentuk tak tentu)
Kita akan mencari nilai fungsi $f(x)$ saat nilai $x$ mendekati $2$, atau dinamakan dengan limit x menuju 2 dari f(x). Ditulis
$ \displaystyle \lim_{x\to 2}f(x)$
Ditulis seperti ini
Jika $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 2}f(x)=…$
- Menyelesaikan dengan tabel
Kita akan coba menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan tabel. Tabel ini menggambarkan nilai $f(x)$ jika x diganti dengan angka-angka yang sangat mendekati 2.
Kita dekati dari arah kiri dan dari arah kanan. Dari arah kiri berarti menuju 2 dari 1,9. Sedangkan dari kanan berarti menuju 2 dari 2,01.
Lihat tabel berikut ini …
Kita hitung nilai $f(x)$ dengan melakukan subtitusi $x$ pada angka terdekat di atas ya …
Kita mulai dengan pendekatan dari sebelah kiri..
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=1,9 \to f(1,9) = \frac{1,9^2-4}{1,9-2}=3,9$
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=1,99 \to f(1,99) = \frac{1,99^2-4}{1,99-2}=3,99$
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=1,999 \to f(1,999) = \frac{1,999^2-4}{1,999-2}=3,999$
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=1,9999.. \to f(1,99) = \frac{1,9999..^2-4}{1,9999..-2}=3,9999.. \approx 4$
Disimpulkan, jika didekati dari kiri, maka $f(x) \approx 4$, ditulis
$\displaystyle \lim_{x \to 2^-}\frac{x^2-4}{x-2} = 4$
Kita lanjut dengan pendekatan dari kanan
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=2,01 \to f(1,9) = \frac{2,01^2-4}{2,01-2}=4,01$
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=2,001 \to f(1,99) = \frac{2,001^2-4}{2,001-2}=4,001$
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=2,0001 \to f(1,999) = \frac{2,0001^2-4}{2,000,-2}=4,0001$
$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2} \to x=2,0000..1 \to f(1,99) = \frac{2,0000..1^2-4}{2,0000..1-2}=4,00000..1 \approx 4$
Disimpulkan, jika didekati dari kanan, maka $f(x) \approx 4$, ditulis
$\displaystyle \lim_{x \to 2^+}\frac{x^2-4}{x-2} = 4$
Nah, karena nilai limit kiri ada, nilai limit kanan ada, dan nilai limit kiri = nilai limit kanan, ditulis
$\displaystyle \lim_{x \to 2^-}\frac{x^2-4}{x-2} = 4 =\displaystyle \lim_{x \to 2^+}\frac{x^2-4}{x-2}$
Maka, $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = 4$
$\odot$ Contoh 2 : Menentukan Nilai Fungsi x + 2$\odot$
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2}(x+2)$
Kita lakukan dengan pendekatan menggunakan tabel
Untuk menghitung nilainya, cukup tambahkan $2$, menjadi …
Jika dilihat dari kiri dan kanan, maka nilai $f(x) = x + 2$ mendekati berapa?
Mendekati 4!
Sehingga bisa ditulis
$\displaystyle \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$
$\odot$ Contoh 3 : Fungsi yang Tidak Memiliki Nilai Limit $\odot$
Jika $f(x) = \frac{1}{x}$, maka $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=…$?
Ingat, syarat suatu limit fungsi ada yaitu Nilai limit kiri = Nilai limit kanan.
Kita akan cek pada fungsi di atas ….
$f(x) = \frac{1}{x}$
Jika diamati tabelnya, maka menemukan fakta bahwa nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan.
Semakin dekat x dengan 0, maka semakin besar perbedaan antara nilai fungsinya. Sehingga, dikatakan bahwa nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ TIDAK ADA.
B. Sifat-Sifat Limit Fungsi
Selanjutnya kita akan membahas sifat-sifat limit fungsi.
Gunanya apa?
Agar kita bisa menghitung nilai sebuah limit tanpa perlu menggunakan bantuan tabel.
- Misalkan $k, c$ adalah kontanta
- $\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)$ ada
- $\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)$ ada
Maka berlaku :
- $\displaystyle \lim_{x \to c}k = k$
- $\displaystyle \lim_{x \to c}x = c$
- $\displaystyle \lim_{x \to c}[kf(x)] = k[\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)]$
- $\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x) \pm g(x)] = \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) \pm \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)$
- $\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x).g(x)] = \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) . \lim_{x \to c}g(x)$
- $\displaystyle \lim_{x \to c}[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)}; \displaystyle \lim_{x \to c}g(x) \neq 0$
- $\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x)]^n = [\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)]^n$
- $\displaystyle \lim_{x \to c}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)}$ dengan $\displaystyle \lim_{x \to c}f(x) \geq 0$ jika $n$ genap
$\odot$ Contoh 4 : Menentukan Nilai Fungsi x + 2 dengan sifat limit $\odot$
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2}x + 2 = …$
Jawab :
Kita akan memanfaatkan sifat ke 4.
$\displaystyle \lim_{x \to c}[f(x) + g(x)] = \displaystyle \lim_{x \to c}f(x) + \displaystyle \lim_{x \to c}g(x)$
Ditulis
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 2}x + 2 &= \displaystyle \lim_{x \to 2}x + \displaystyle \lim_{x \to 2}2 \quad \text{Sifat ke-7}\\ &= 2 + 2 \qquad \qquad \text{Sifat ke-2 & ke-1} \\ &=4 \end{aligned}$
$\odot$ Latihan 1 $\odot$
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1}(2x + 3) = …$
$\odot$ Contoh 5 $\odot$
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x)=2$ dan $\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)=4$
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1}[\frac{8f(x)+3[g(x)]^2+2}{f(x).\sqrt{g(x)}}]=…$
Jawab :
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 1}[\frac{8f(x)+3[g(x)]^2+2}{f(x).\sqrt{g(x)}}] &= \frac{8.\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x)+3[\displaystyle \lim_{x \to 1}g(x)]^2+2}{\displaystyle \lim_{x \to 1}f(x).\sqrt{\displaystyle \lim_{x \to 1}g(x)}} \\&=\frac{8(2)+3(3)^2+2}{2\sqrt{4}} \\ &=\frac{64+29+2}{2(2)} \\ &=\frac{66}{4} \end{aligned}$
Coba cek, sifat ke- berapa sajakah yang digunakan untuk menyelesaikan soal pada contoh 5?
$\odot$ Latihan 2 $\odot$
Diketahui $\displaystyle \lim_{x \to 2}f(x)=1$ dan $\displaystyle \lim_{x \to 2}g(x)=1$
Tentukanlah nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{4(f(x))^2}{\sqrt{g(x)}}$
A. $2$
B. $8$
Siip, lanjut besok yah…