Assalamu alaikum wr. wb.
Apa kabar hari ini anak-anak? Semoga tetap sehat selalu ya.. 🙂
Hari ini kita akan membahas materi baru, yakni program linear.
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
Perhatikan ilustrasi berikut.
Ada seorang pedagang lilin yang memiliki modal usaha Rp800.000 dengan kios mini yang hanya mampu menampung 500 bungkus lilin. Harga beli lilin A per bungkusnya Rp 2.000 dan lilin B per bungkusnya Rp1.000.
Keuntungan lilin A adalah Rp. 500 per bungkus, sedangkan lilin B Rp. 200 per bungkus.
Agar modal yang dimiliki penjual tersebut bisa digunakan sepenuhnya untuk membeli lilin sesuai kapasitas kios dan tanpa harus berhutang, serta keuntungan yang diperoleh pedagang itu maksimum, bagaimana model matematika yang sesuai? Berapa masing-masing jumlah lilin A & lilin B yang harus ia beli?
Materi seperti ini akan dipelajar pada bab Program Linear kali ini.
Program linear adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah dalam bentuk pertidaksamaan linear.
Saat mempelajari program linear, sama artinya kamu belajar grafik pertidaksamaan, yang bentuk umum pertidaksamaan linearnya yaitu $ax + by \leq c$.
Ada 3 sub bab penting yang akan dibahas pada bab 2 ini, yaitu :
- Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel
- Model matematika
- Program linear
Materi sistem pertidaksamaan linear dua variabel sudah dipelajari pada tingkatan sebelumnya. Karena menjadi prasyarat, maka pada awal bab ini kita hanya akan mengulang sedikit materi SPtLDVsaja ya.
Oke, kita mulai.
2.1 Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
2.1.1 Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Dalam matematika khususnya dalam aljabar dikenal beberapa istilah Kesamaan, Persamaan, Ketidaksamaan, dan Pertidaksamaan.
Apakah kamu tahu apa artinya keempat istilah tersebut?
Istilah penting!
- Pernyataan adalah kalimat yang dapat ditentukan benar atau salahnya
- Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya (benar atau salah)
- Variabel adalah lambang atau pengganti variabel suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dalam kalimat terbuka. Peubah atau variabel yang ada pada kalimat terbuka dapat diganti oleh sembarang anggota dari himpunan semesta sehingga menjadi kalimat benar atau salah.
- Konstanta adalah bilangan yang dapat mengganti variabel.
Kesamaan
Kesamaan dalam matematika merupakan kalimat pernyataan yang memiliki tanda hubung sama dengan (=).
Berikut adalah contoh kesamaan dalam matematika.
$9 \times 3 = 20 + 7$
$25 : 5 = 10 – 5$
$ 6 + 7 = 10 + 3$
Persamaan
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki tanda hubung sama dengan (=).
Contoh persamaan :
$3a = 4$
$p + 7 = 6$
$x – 5y = 2$
Dari contoh di atas kita dapat melihat bahwa dalam persamaan terdapat variabel sedangkan pada kesamaan tidak terdapat variabel.
Ketidaksamaan
Ketidaksamaan adalah kalimat pernyataan yang menyatakan hubungan tidak sama.
Tanda hubung tidak sama
< dibaca “kurang dari”
> dibaca “lebih dari”
≤ dibaca “kurang dari atau sama dengan”
≥ dibaca “lebih dari atau sama dengan”
≠ dibaca “tidak sama dengan”
Contoh ketidaksamaan :
2 kurang dari 6 ditulis 2 < 6
5 lebih dari 1 ditulis 5 > 1
3 < 5 dan 5 < 7 ditulis 3 < 5 < 7
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat salah satu dari tanda-tanda ketidaksamaan.
Contoh pertidaksamaan :
$x < 4$
$p – 3 > 7$
$x + y \leq 3 $
Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Contoh pertidaksamaan linear dua variabel :
- $x – 3y < 5$
- $2x + y \leq 4$
- $x – y > 3$
- $2x + 5y \geq 10$
Dari hubungan di atas dapat diamati 2 hal :
- Hubungan ini memuat salah satu lambang ketidaksamaan $\Rightarrow$ Pertidaksamaan
- Hubungan itu memuat dua variabel (yaitu $x$ dan $y$) dan masing-masing variabel berpangkat satu (linear) $\Rightarrow$ linear dengan dua variabel
Definisi
Pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang di dalamnya memuat dua variabel dan masing-masing variabel itu berderajat satu
Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Penyelesaian dari pertidaksamaa linear dua variabel ini merupakan gambar daerah pada grafik Cartesius (sumbu-XY) yang dibatasi oleh suatu garis linear.
Kita mulai dengan persamaan satu variabel ya ..
Contoh 1 :
Gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaan
a. $x > 2$
b. $x \geq 2$
Jawab :
a. $x > 2$
Pada grafik Cartesius, sumbu $x$ adalah sumbu yang mendatar (horizontal) sedangkan sumbu $y$ adalah sumbu yang tegak (vertikal)
$x > 2$ menunjukkan bahwa semua nilai x adalah lebih besar dari 2, angka 2 tidak termasuk dalam daerah penyelesaian sehingga batasnya berupa titik-titik.
$x > 2$ digambarkan seperti grafik ini.
b. $x \geq 2$
Apa perbedaan soal ini dengan bagian a?
Pada grafik $x \geq 2$ angka 2 termasuk daerah penyelesaian, garis batasnya full, bukan garis putus-putus.
$x \geq 2$ digambarkan sebagai berikut!
Contoh 2 :
Arsirlah daerah pertidaksamaan berikut!
a. $x \geq 0$
b. $x \leq 0$
c. $y \geq 0$
d. $y \leq 0$
Jawab :
a. $x \geq 0$
b. $x \leq 0$
c. $y \geq 0$
d. $y \leq 0$
INGAT! Cara meletakkan titik (x, y) pada koordinat Cartesius adalah X dulu, baru Y.
Sumbu X adalah yang mendatar (horizontal) sedangkan sumbu Y adalah yang tegak (vertikal)
Titik (1,5) berarti x = 1, y = 5. Tarik garis pertemuan x = 1 & y =5, letakkan titik di pertemuan garisnya.
Titik (5,1) berarti x = 5, y = 1. Tarik garis pertemuan x = 5 & y = 1, letakkan titik di pertemuan garisnya.
Lihatlah titik-titik koordinat berikut untuk sekedar mengingat cara meletakkan titik!
Contoh 3 :
Arsirlah daerah penyelesaian pertidaksamaan linier $2x + y \leq 6$, dengan $x$ dan $y$ anggota real.
Jawab :
Langkah Pertama : Tentukan titik potong
Kita lukis garis $2x + y = 6$ dengan cara menghubungkan titik potong garis dengan sumbu X dan sumbu Y.
Kita tentukan titik potong dengan bantuan tabel.
Bagaimana cara mengisi tabel ini?
Titik potong garis dengan sumbu X maka $y = 0$, ganti nilai y pada persamaan dengan 0, menjadi :
$\begin{aligned} 2x + y &= 6 \\ 2x + 0 &= 6 \\ 2x &= 6 \\ x &= \dfrac{6}{2} \\ x &= 3\end{aligned} $
Diperoleh $x = 3, y = 0$ $\Rightarrow$ titik $(3,0) \bigstar$
Titik potong garis dengan sumbu Y maka $x = 0$, ganti nilai x pada persamaan dengan 0, menjadi :
$\begin{aligned} 2x + y &= 6 \\ 2(0) + y &= 6 \\ 0+y &= 6 \\ y &= 6\end{aligned}$
Diperoleh $x = 0, y = 6$ $\Rightarrow$ titik $(0,6) \bigstar$
Sehingga diperoleh isian tabel berikut…
Langkah Kedua : Letakkan pada garis bilangan
Letakkan titik koordinat pada garis bilangan, tarik garis lurus.
Setelah diberi garis akan tampil seperti ini…
Langkah 3 : Pengujian pada sebarang titik
Uji sebarang titik pada pertidaksamaan linear dua variabel $2x + y \leq 6$.
Paling mudah gunakan titik O (0,0) dalam pengujian.
Jika hasilnya benar, maka daerah yang memuat O (0,0) (BERWARNA MERAH) yang diarsir.
Jika hasilnya salah, maka daerah di seberang O (0,0) (BERWARNA BIRU) yang diarsir.
Untuk O (0,0), maka nilai x & y pada pertidaksamaan $2x + y \leq 6$ diganti dengan $x = 0, y =0$, menjadi :
$\begin{aligned}2x + y &\leq 6 \\ 2(0) + 0 &\leq 6 \\ 0 &\leq 6 \Leftarrow BENAR \end{aligned}$
Pernyataan $0 \leq 6$ bernilai BENAR.
Sesuai syarat, maka daerah yang diarsir adalah daerah yang memuat titik O (0,0) / DAERAH BERWARNA MERAH.
Jadi, gambar di atas inilah daerah penyelesaian pertidaksamaan $2x + y \leq 6$.
Contoh 4 :
Arsirlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel $2x + 3y \geq 12$
Jawab :
Langkah pertama : tentukan titik potong
Titik potong sumbu X, $y=0$, maka
$\begin{aligned} 2x + 3y &= 12 \\ 2x + 3(0) &= 12 \\ 2x + 0 &= 12 \\ 2x &= 12 \\ x &= \dfrac{12}{2} \\ x &= 6 \Rightarrow titik (6, 0) \end{aligned} $
Titik potong sumbu Y, $x=0$, maka
$\begin{aligned} 2x + 3y &= 12 \\ 2(0) + 3y &= 12 \\ 0 + 3y &= 12 \\ 3y &= 12 \\ y &= \dfrac{12}{3} \\ y &= 4 \Rightarrow titik (0, 4) \end{aligned} $
Diperoleh titik potong berikut
Langkah Kedua : letakkan pada garis bilangan
Tarik garis lurus pada kedua titik
Langkah 3 : Pengujian pada sebarang titik
Kita uji $2x + 3y \geq 12$ pada titik O (0,0). Jika benar, maka daerah yang memuat titik O (0,0) yang diarsir. Jika salah, maka daerah seberang garis yang diarsir.
Untuk O (0,0), ganti $x$ & $y$ pada $2x + 3y \geq 12$ dengan $x=0, y=0$, menjadi
$\begin{aligned}2x + 3y &\geq 12 \\ 2(0) +3(0) &\geq 12 \\ 0 + 0 &\geq 12 \\ 0 &\geq 12 \Leftarrow SALAH \end{aligned}$
Karena $0 \geq 12$ adalah SALAH, maka daerah yang diarsir adalah daerah yang tidak memuat titik O (0,0).
Sehingga grafik menjadi sebagai berikut
Contoh 5 :
Arsirlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan $-4x – 2y \geq 8$
Jawab :
Langkah pertama : tentukan titik potong
Titik potong sumbu X, $y=0$, maka
$\begin{aligned} -4x – 2y &= 8 \\ -4x – 2(0) &= 8 \\ -4x – 0 &= 8 \\ -4x &= 8 \\ x &= \dfrac{8}{-4} \\ x &= -2 \Rightarrow titik (-2, 0) \end{aligned} $
Titik potong sumbu Y, $x=0$, maka
$\begin{aligned} -4x – 2y &= 8 \\ -4(0) – 2y &= 8 \\ 0 -2y &= 8 \\ -2y &= 8 \\ y &= \dfrac{8}{-2} \\ y &= -4 \Rightarrow titik (0, -4) \end{aligned} $
Diperoleh titik potong berikut
Langkah Kedua : letakkan pada garis bilangan & tarik garis
Langkah 3 : Pengujian pada sebarang titik
Kita uji $-4x – 2y \geq 8$ pada titik O (0,0). Jika benar, maka daerah yang memuat titik O (0,0) yang diarsir. Jika salah, maka daerah seberang garis yang diarsir.
Untuk O (0,0), ganti $x$ & $y$ pada $-4x – 2y \geq 8$ dengan $x=0, y=0$, menjadi
$\begin{aligned}-4x – 2y &\geq 8 \\ -4(0) – 2(0) &\geq 8 \\ 0 – 0 &\geq 8 \\ 0 &\geq 8 \Leftarrow SALAH \end{aligned}$
Karena $0 \geq 8$ adalah SALAH, maka daerah yang diarsir adalah daerah yang tidak memuat titik O (0,0).
Daerah yang tidak memuat O (0,0) adalah daerah di sebelah bawah garis.
Sehingga grafik menjadi sebagai berikut
Siiplah …
Semoga paham ya …
██████████
TUGAS 2!
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Gunakan mistar/ penggaris untuk mengarsir daerah himpunan penyelesaian. Pastikan tulisan dan gambarmu rapi ya..
Tulis di sudut kiri atas :
TUGAS 2
Nama :
Kelas :
Foto jawabanmu & kirimkan ke inbox FB saya (facebook.com/muh.zainalabidin) sebelum 30 September 2020 ya ..
Arsirlah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear di bawah ini. Ikuti langkah-langkah pada contoh di atas!
- $4x + 5y \leq 20$
- $3x + 8y \leq 24$
- $4x – 3y \leq 24$
- $-5x – 2y \geq 10$
Selamat belajar … 🙂
Sya sudah membacanya pak