Assalamu alaikum wr. wb.
Apa kabar hari ini anak-anak? Semoga tetap sehat selalu ya.. 🙂
Sebelumnya kita sudah membahas tentang pengantar program linear, silakan baca untuk sekedar mengingat.
2.1 : Pengertian & Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
2.2 : Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Hari ini kita akan membahas materi baru, yakni Model Matematika
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
2.2. Menyusun Model Matematika
Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
Model matematika dari setiap permasalahan program linear secara umum terdiri atas 2 komponen, yaitu:
1. Fungsi kendala/ batasan (berupa sistem pertidaksamaan linear), dan
2. Fungsi tujuan $ z = f(x, y) = ax + by \, $
Langkah-langkah membuat model matematika-nya :
- Baca soal secara cermat, dan buat pemisalan (biasanya yang dimisalkan adalah produknya).
- Susun pertidaksamaannya berdasarkan kendala/ batasan yang ada.
- Susun fungsi tujuannya.
██████████
Ciri-ciri tanda ketaksamaan yang digunakan :
- tanda $ \geq \, $ digunakan untuk kata-kata : tidak kurang dari, minimal, sekecil-kecilnya, sekurang-kurangnya, minimum, paling sedikit.
- tanda $ \leq \, $ digunakan untuk kata-kata : tidak lebih dari, maksimal, sebesar-besarnya, maksimum, paling banyak.
██████████
Contoh 1 :
Tentukan model matematika kalimat di bawah ini:
a. Uang saku yang dibawa Mirna paling banyak Rp. 10.000
b. Berat padi dalam karung yang mampu diangkat kuli adalah maksimal 100 kg.
c. Penduduk yang boleh memiliki KTP harus berusia minimal 17 tahun.
d. Penonton konser amal Noah tidak kurang dari 15.000 orang.
e. Daya tampung penumpang mobil Avanza paling banyak 9 orang.
Penyelesaian :
a. Uang saku yang dibawa Mirna paling banyak Rp. 10.000
Misalkan, uang saku yang dibawa Mirna = $x$
Paling banyak Rp. 10.000 bermakna nilainya harus kurang dari (atau sama dengan) Rp. 10.000, tidak boleh lebih.
Mirna mungkin bawa 5rb, 7rb, 8rb, atau 10rb. Tapi tidak bawa 11rbu atau lebih.
Pilihan tanda pertidaksamaan yang cocok adalah $\leq$.
Maka model matematika-nya adalah $x \leq Rp. 10.000$
b. Berat padi dalam karung yang mampu diangkat kuli adalah maksimal 100 kg.
Misalkan, berat padi dalam karung yang mampu diangkat kuli adalah = $y$.
Kuli hanya mampu mengangkat maksimal 100 kg, TIDAK BISA LEBIH.
Kalau lebih? Ya ndak kuat to Boss …
Pilihan tanda pertidaksamaan yang cocok adalah $\leq$.
Maka model matematika-nya adalah $y \leq 100 kg$
c. Penduduk yang boleh memiliki KTP harus berusia minimal 17 tahun.
Misalkan, penduduk yang boleh memilki KTP adalah $x$.
Usia $x$ minimal 17 tahun.
15 tahun boleh? Nggak boleh dong.
17 tahun boleh? Pas setelah ulang tahun, boleh.
20 tahun boleh? Ya boleh banget.
Pilihan tanda pertidaksamaan yang cocok apa hayo?
.
.
.
Yang cocok ya $\geq \,$.
LEBIH DARI.
Maka model matematika-nya adalah $x \geq 17$
d. Penonton konser amal Noah tidak kurang dari 15.000 orang
Misalkan, penonton konser Noah adalah $y$.
Jumlahnya tidak kurang dari 15.000, artinya?
Tidak kurang itu kan berarti lebih.
Atau minimal sama.
Mungkin jumlahnya 15.000, atau 15.004 atau 15.768 atau 18.232
Tapi yang pasti bukan 14.999 ke bawah.
Paham kamu?
😀
Pilihan tanda pertidaksamaan yang cocok apa hayo?
$y \leq 15.000$ atau $y \geq 15.000$?
e. Daya tampung penumpang mobil Avanza paling banyak 9 orang.
Yang ini, misalkan daya tampung penumpang mobil Avanza adalah $x$.
Model matematika-nya, $x \leq 9$ atau $x \geq 9$?
Berikan alasanmu …
██████████
Contoh 2 :
Kakak akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B.
Roti A membutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg telur.
Sedangkan roti B membutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur.
Kakak hanya mempunyai 15 kg tepung terigu dan 10 kg telur.
Jika banyaknya roti A yang akan dibuat adalah x dan banyaknya roti B yang akan dibuat adalah y, maka tentukan model matematikanya!
Penyelesaian :
*) Agar lebih mudah dalam membuat model matematika-nya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu.
Misalkan, Roti A = $x$ dan Roti B = $y$, maka dibuat tabel berikut ini berdasarkan data pada soal.
*) Menentukan bentuk pertidaksamaannya (fungsi kendala) berdasarkan kendalanya :
Kendala (batasan) pertama : tepung terigu
Banyaknya tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($x + 1,5y$) kg.
Karena persediaan tepung terigu adalah 15 kg, maka diperoleh hubungan:
$ x + 1,5 y \leq 15 \, $
atau jika ingin dibulatkan, maka dikalikan 2, menjadi
$ 2x + 3y \leq 30 $ .
Kendala (batasan) kedua : telur
Banyaknya telur yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($0,5x + y$) kg.
Karena persediaan telur adalah 10 kg, maka diperoleh hubungan:
$ 0,5x + y \leq 10 \, $
atau jika ingin dibulatkan, maka dikalikan 2, menjadi
$ x + 2y \leq 20 $
Kendala (Batasan) Ketiga : Jumlah Roti
$ x $ dan $ y $ adalah banyaknya roti A dan roti B sehingga $ x $ dan $ y $ tidak mungkin negatif.
Ya masa’ nanti jumlah roti = $-12$, kan lucu…
Oleh karena itu, $ x $ dan $ y $ harus memenuhi hubungan:
$ x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0$, dengan $ x, y \in C $.
Jadi, model matematikanya adalah
$ 2x + 3y \leq 30, \, x + 2y \leq 20, x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0, $ dengan $ x, y \in C $.
C adalah bilangan cacah yang beranggotakan ${0, 1, 2, 3, 4, 5, \cdots}$.
██████████
Contoh 3 :
Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak- anak dan pakaian dewasa.
Satu pakaian anak-anak memerlukan waktu 1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan 1,5 jam untuk tahap penjahitan.
Sedangkan satu pakaian dewasa memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam untuk pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan.
Penjahit tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan.
Keuntungan bersih pakaian anak-anak dan pakaian dewasa adalah Rp15.000,00 dan Rp30.000,00.
Buatlah model matematika dari masalah program linear tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar- besarnya!
Penyelesaian :
*) Produknya adalah pakaian anak-anak dan pakaian dewasa. Kendala (batasan)-nya adalah waktu pengerjaan yang dibagi menjadi tiga yaitu pemotongan, pengobrasan, dan penjahitan.
Misalkan banyaknya pakaian anak-anak = $ x $ dan banyaknya pakaian dewasa = $ y $.
Agar lebih mudah, persoalan di atas disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut!
*) Menyusun fungsi kendalanya :
waktu pemotongan : $ x + 1,5y \leq 20 \, $ atau $ 2x + 3y \leq 40 $.
waktu pengobrasan : $ 0,5x + y \leq 15 \, $ atau $ x + 2y \leq 30 $.
waktu penjahitan : $ 1,5x + 2,5y \leq 40 \, $ atau $ 3x + 5y \leq 80 $.
Banyak barang positif : $ x \geq 0, \, y \geq 0 $.
*) Menyusun fungsi tujuannya atau fungsi objektif atau fungsi sasaran :
$ z = 15.000x + 30.000y , \, $
atau ditulis
$ f(x,y) = 15.000x + 30.000y $.
Fungsi tujuan adalah fungsi keuntungan yang akan ditentukan nilai maksimumnya.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \leq 40, x + 2y \leq 30, 3x + 5y \leq 80, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 15.000x + 30.000y $ .
██████████
Contoh 4 :
Seorang praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan A dan larutan B untuk eksperimennya.
Larutan A mengandung 10 ml bahan I dan 20 ml bahan II.
Sedangkan larutan B mengandung 15 ml bahan I dan 30 ml bahan II.
Larutan A dan larutan B tersebut akan digunakan untuk membuat larutan C yang mengandung bahan I sedikitnya 40 ml dan bahan II sedikitnya 75 ml.
Harga tiap ml larutan A adalah Rp5.000,00 dan tiap ml larutan B adalah Rp8.000,00.
Buatlah model matematikanya agar biaya untuk membuat larutan C dapat ditekan sekecil-kecilnya!
Penyelesaian :
*) Produknya adalah larutan A dan larutan B dan kendalanya adalah bahan I dan II.
Misalkan banyaknya larutan A adalah $ x $ dan banyaknya larutan B adalah $ y $.
Agar lebih mudah, persoalan program linear tersebut disajikan dalam tabel seperti berikut ini.
*) Menyusun fungsi kendala berdasarkan kendalanya :
Di soal ini menggukanan kata sedikitnya, artinya tanda ketaksamaannya “$\geq$”.
Bahan I : $ 10x + 15y \geq 40 \, $ atau $ 2x + 3y \geq 8 $.
Bahan II : $ 20x + 30y \geq 75 \, $ atau $ 4x + 6y \geq 15 $.
Banyak larutan positif : $ x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
*) Menyusun fungsi tujuannya (sebagai fungsi biaya):
$ z = 5.000x + 8.000y $.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \geq 8, 4x + 6y \geq 15, x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 5.000x + 8.000y $.
██████████
Contoh 5 :
Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon.
Tempatnya hanya mampu menampung buah sebanyak 60 kg.
Pedagang itu mempunyai modal Rp140.000,00.
Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga beli melon Rp2.000/kg.
Keuntungan yang diperoleh dari penjual semangka Rp 1.500,00/kg dan melon Rp1.250,00/kg.
Tentukan model matematika dari permasalahan ini.
Penyelesaian :
*) Produknya adalah semangka dan melon serta kendalanya adalah kapasitas keranjang dan harga.
Misalkan semangka sebanyak $ x \, $ dan melon sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*) Menyusun fungsi kendala sesuai batasannya :
Kapasitas : $ x + y \leq 60 $
Harga : $ 2.500x + 2.000y \leq 140.000 \, $ atau $ \, 5x + 4y \leq 280 $ .
Banyak buah (bernilai positif) : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*) Menyusun Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.
Jadi, model matematikanya adalah :
Kendalanya : $ x + y \leq 60, 5x + 4y \leq 280 , x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.
██████████
Contoh 6 :
Suatu lahan parkir memiliki luas 800 m$^2$ dan hanya mampu menampung 64 bus dan mobil.
Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m$^2$ dan bus 24 m$^2$.
Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus.
Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan yang maksimum.
Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.
Penyelesaian :
*) Produknya adalah mobil dan bus serta kendalanya kapasitas (daya tampung) dan luas lahan.
Misalkan mobil sebanyak $ x $ dan bus sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*) Menyusun fungsi kendalanya :
Daya tampung : $ x + y \leq 64 $
Luas lahan : $ 6x + 24y \leq 800 $ .
Banyak kendaraan bernilai positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
Kan tidak mungkin banyak kendaraan bernilai negarif toh?
*) Menyusun fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.
Jadi, model matematikanya yaitu :
Kendala : $ x + y \leq 64, 6x + 24y \leq 800, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.
Taraaa …
Semoga paham ya …
Source : https://www.konsep-matematika.com/2016/02/menyusun-model-matematika-untuk-program-linear.html