Soal Nomor 1
Seorang pedagang paling sedikit menyewa $28$ kendaraan untuk jenis truk dan colt, dengan jumlah yang diangkut sebanyak $272$ karung. Truk dapat mengangkut tidak lebih dari $14$ karung dan colt $8$ karung. Ongkos sewa truk Rp500.000,00 dan colt Rp300.000,00. Jika $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah $\cdots \cdot$
A. $x + y \leq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$
B. $x + y \geq 28; 7x + 4y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$
C. $x + y \geq 28; 4x + 7y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0$
D. $x + y \leq 28; 7x + 4y \geq 136; x \geq 0; y \geq 0$
E. $x + y \leq 28; 4x + 7y \leq 136; x \geq 0; y \geq 0$
Misalkan $x$ menyatakan banyaknya truk dan $y$ menyatakan banyaknya colt, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Truk} & \text{Colt_} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Banyak Karung} & 14 & 8 & \leq 272 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 28 \\ \hline \end{array}$$
$\begin{cases} x + y \geq 28 \\ 14x + 8y \leq 272 \Rightarrow 7x + 4y \leq 136 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 2
Anis akan membeli mangga dan apel. Jumlah buah yang dibeli paling sedikit $12$ buah. Mangga yang dibeli paling banyak $6$ buah. Harga mangga Rp2.000,00 per buah dan apel Rp4.000,00 per buah. Ia mempunyai uang Rp20.000,00. Jika ia membeli $x$ mangga dan $y$ apel, maka sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah $\cdots \cdot$
A. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$
B. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$
C. $x + 2y \leq 10; x + y \leq 12; x \geq 6$
D. $x + 2y \leq 10; x + y \geq 12; x \geq 6$
E. $x + 2y \geq 10; x + y \geq 12; x \leq 6$
Misalkan $x$ menyatakan banyaknya mangga dan $y$ menyatakan banyaknya apel, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Mangga} & \text{Apel} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Uang} & 2.000 & 4.000 & \leq 20.000 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \geq 12 \\ & \leq 6 & & \\ \hline \end{array}$$ $$\begin{cases} 2.000x + 4.000y \leq 20.000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 10 \\ x + y \geq 12 \\ x \leq 6 \end{cases}$$(Jawaban B)
Soal Nomor 3
Seorang pengusaha roti akan membuat roti. Roti jenis I membutuhkan $20$ gram tepung dan $10$ gram mentega, sedangkan roti jenis II membutuhkan $15$ gram tepung dan $10$ gram mentega. Bahan yang tersedia adalah tepung $5$ kg dan mentega $4$ kg. Jika $x$ menyatakan banyaknya roti jenis I dan $y$ menyatakan banyaknya jenis roti II, model matematika persoalan tersebut adalah $\cdots \cdot$
$$\begin{aligned} & \text{A}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{B}. 4x+3y \geq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{C}. 4x+3y \leq 1000; x+y \geq 400; x \geq 0; y \leq 0 \\ & \text{D}. 4x+3y \leq 1000; x+y \leq 400; x \geq 0; y \geq 0 \\ & \text{E}. 4x+3y \geq 1000; x+y \geq 400; x \leq 0; y \leq 0 \end{aligned}$$
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Roti Jenis I} & \text{Roti Jenis II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Tepung} & 20 & 15 & \leq 5000 \\ \text{Mentega} & 10 & 10 & \leq 4000 \\ \hline \end{array}$$Semua satuan produk pada tabel di atas menggunakan satuan gram (5 kg = 5.000 g, 4 kg = 4.000 g). Tanda $\leq$ digunakan karena kebutuhan bahan pembuatan roti tidak boleh melebihi persediaan yang ada. Karena $x, y$ masing-masing mewakili banyaknya roti jenis I dan roti jenis II, maka haruslah $x \geq 0, y \geq 0$.
Untuk itu, model matematika persoalan tersebut adalah
$\begin{cases} 20x + 15y \leq 5.000 \\ 10x + 10y \leq 4.000 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 4x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 4
Luas sebuah tempat parkir adalah $420~\text{m}^2$. Tempat parkir yang diperlukan oleh sebuah sedan adalah $5~\text{m}^2$ dan luas rata-rata sebuah truk $15~\text{m}^2$. Tempat parkir tersebut dapat menampung tidak lebih dari $60$ kendaraan. Biaya parkir untuk sebuah sedan Rp3.000,00 dan untuk sebuah truk Rp5.000,00. Jika banyak sedan yang diparkir $x$ buah dan banyak truk $y$ buah, model matematika dari masalah tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $x+3y \leq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$
B. $x+3y \geq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$
C. $x+3y \leq 84, x + y \geq 60, x \geq 0, y \geq 0$
D. $x+3y \geq 84, x + y \geq 60, x \geq 0, y \geq 0$
E. $3x+y \leq 84, x + y \leq 60, x \geq 0, y \geq 0$
Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya sedan dan truk. Untuk itu, dapat dibuat sistem pertidaksamaan linear yang disusun berdasarkan tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Sedan} & \text{Truk} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas parkiran} & 5 & 15 & \leq 420 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 60 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 5x + 15y \leq 420 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau disederhanakan menjadi
$\begin{cases} x + 3y \leq 84 \\ x + y \leq 60 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 5
Untuk menambah penghasilan, seorang ibu rumah tangga setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue jenis I modalnya Rp1.000,00 dengan keuntungan Rp800,00, sedangkan setiap kue jenis II modalnya Rp1.500,00 dengan keuntungan Rp900,00. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp500.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi $400$ kue, maka keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp300.000,00
B. Rp320.000,00
C. Rp340.000,00
D. Rp360.000,00
E. Rp400.000,00
Misalkan banyaknya kue jenis I dan II berturut-turut dinotasikan sebagai $x$ dan $y$. Dengan demikian, dapat dibentuk sistem pertidaksamaan linear berdasarkan tabel berikut.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{K1} & \text{K2} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 400 \\ \text{Biaya} & 1000 & 1500 & \leq 500.000 \\ \hline \end{array}$
$\begin{cases} 1.000x + 1.500y \leq 500.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
atau dapat disederhanakan menjadi
$\begin{cases} 2x + 3y \leq 1.000 \\ x + y \leq 400 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 800x + 900y$. Dalam hal ini, akan dicari nilai maksimum dari $P$ dengan uji titik pojok daerah penyelesaiannya.
Gambarkan grafik dari sistem pertidaksamaan linear di atas pada sistem koordinat Kartesius seperti berikut.
Titik pojok daerah penyelesaian tersebut adalah $B(400, 0), C(200, 200)$, dan $D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right)$. Uji ketiga titik pojoknya pada fungsi objektif $P = 800x + 900y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 800x+900y \\ \hline B(400,0) & 320.000 \\ \color{green}{C(200, 200)} & \color{green}{340.000} \\ D\left(0, \dfrac{1000}{3}\right) & 300.000 \\ \hline \end{array}$
Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh ibu rumah tangga tersebut adalah Rp340.000,00.
(Jawaban C)
Soal Nomor 6
Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung $5$ unit vitamin A dan $3$ unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung $10$ unit vitamin A dan $1$ unit vitamin B. Dalam $1$ hari, anak tersebut memerlukan $25$ vitamin A dan $5$ unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per butir dan tablet II Rp8.000,00 per butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah $\cdots \cdot$
A. Rp6.000,00
B. Rp6.700,00
C. Rp7.000,00
D. Rp20.000,00
E. Rp22.000,00
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Tablet Jenis I} & \text{Tablet Jenis II} & \text{Kebutuhan} \\ \hline \text{Vit. A} & 5 & 10 & \geq 25 \\ \text{Vit. B} & 3 & 1 & \geq 5 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear
$\begin{cases} & 5x + 10y \geq 25 \Rightarrow x + 2y \geq 5 \\ & 3x + y \geq 5 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 4.000x + 8.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.
Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $A(0,5), B(1, 2)$, dan $C(5, 0)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $B$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 4.000x+8.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 4.000x+8.000y \\ \hline A(0, 5) & 40.000 \\ \color{green}{B(1, 2)} & \color{green}{20.000} \\ \color{green} {C(5, 0)} & \color{green}{20.000} \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari sesuai dengan persoalan tersebut adalah Rp20.000,00.
(Jawaban D)
Soal Nomor 7
Suatu area parkir mempunyai luas $1.760~\text{m}^2$. Luas rata-rata untuk mobil kecil $4~\text{m}^2$ dan mobil besar $20~\text{m}^2$. Daya tampung daerah parkir maksimum 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam daerah parkir terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka penghasilan maksimum tempat parkir itu sebesar $\cdots \cdot$
A. Rp176.000,00
B. Rp200.000,00
C. Rp260.000,00
D. Rp300.000,00
E. Rp340.000,00
Misalkan $x, y$ berturut-turut menyatakan banyaknya mobil kecil dan mobil besar, maka dapat dibentuk model matematika berupa sistem pertidaksamaan linear sebagai berikut dengan memperhatikan tabel di bawah.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Mobil Kecil} & \text{Mobil Besar} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Luas} & 4 & 20 & \leq 1.760 \\ \text{Kuantitas} & 1 & 1 & \leq 200 \\ \hline \end{array}$$ $\begin{cases} 4x + 20y \leq 1.760 \Leftrightarrow x + 5y \leq 440 \\ x + y \leq 200 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$
Fungsi objektif: $Z = 1.000x + 2.000y$
Gambarkan sistem pertidaksamaan linear di atas ke dalam sistem koordinat.
Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dengan tiga titik pojok, yaitu titik $B(200, 0), C(140, 60)$, dan $D(0, 88)$.
Untuk mencari koordinat titik $C$, carilah penyelesaian dari $\begin{cases} x + y = 200 \\ x + 5y = 440 \end{cases}$ karena $C$ merupakan titik potong kedua garis itu.
Uji ketiga titik pojok pada fungsi objektif $Z = 1.000x + 2.000y$.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & Z = 1.000x + 2.000y \\ \hline B(200, 0) & 200.000 \\ \color{green}{C(140, 60)} & \color{green}{260.000} \\ D(0, 88) & 176.000 \\ \hline \end{array}$
Dari tabel di atas, diketahui bahwa keuntungan maksimum yang dapat dicapai sebesar Rp260.000,00.
(Jawaban C)
Soal Nomor 8
Seorang penjahit memiliki persediaan $20$ m kain polos dan $20$ m kain bergaris untuk membuat $2$ jenis pakaian. Pakaian model $1$ memerlukan $1$ m kain polos dan $3$ m kain bergaris. Pakaian model II memerlukan $2$ m kain polos dan $1$ m kain bergaris. Pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100.000,00 per potong. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.400.000,00
B. Rp1.600.000,00
C. Rp1.800.000,00
D. Rp1.900.000,00
E. Rp2.000.000,00
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, dapat disusun tabel berikut.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{Model I} & \text{Model II} & \text{Kapasitas} \\ \hline \text{Kain Polos} & 1 & 2 & \leq 20 \\ \text{Kain Bergaris} & 3 & 1 & \leq 20 \\ \hline \end{array}$$Dari tabel di atas, dapat disusun sistem pertidaksamaan linear di mana $x$ adalah banyaknya pakaian model I dan $y$ adalah banyaknya pakaian model II.
$\begin{cases} & x + 2y \leq 20 \\ & 3x + y \leq 20 \\ & x \geq 0 \\ & y \geq 0 \end{cases}$
yang merupakan kendala dari fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$.
Gambarkan grafik dari setiap pertidaksamaan linear di atas pada koordinat Kartesius seperti berikut.
Daerah penyelesaiannya tampak pada gambar di atas (diwarna), dengan titik pojok $B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right), C(4, 8)$, dan $D(0, 10)$. Perhatikan bahwa koordinat titik $C$ dapat ditentukan dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.
Selanjutnya, ujilah nilai optimum dari masing-masing titik pojok itu terhadap fungsi objektif $P = 150.000x + 100.000y$ dengan menggunakan tabel seperti di bawah ini.
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Titik Pojok} & P = 150.000x + 100.000y \\ \hline B\left(\dfrac{20}{3}, 0\right) & 1.000.000 \\ \color{green}{C(4, 8)} & \color{green}{1.400.000} \\ D(0, 10) & 1.000.000 \\ \hline \end{array}$
Berdasarkan tabel di atas, penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah Rp1.400.000,00.
(Jawaban A)
Soal Nomor 9
Luas daerah yang dibatasi oleh $2x-y \leq 2$, $x+y \leq 10$, dan $x \geq-2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $44$ satuan luas D. $54$ satuan luas
B. $48$ satuan luas E. $56$ satuan luas
C. $50$ satuan luas
Pertama, akan digambar grafik dari $2x-y \leq 2$ terlebih dahulu.
Uji titik untuk persamaan $2x-y=2$.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y &-2 & 0 \\ \hline (x, y) & (0,-2) & (1, 0) \\ \hline \end{array}$
Grafik melalui titik $(0,-2)$ dan $(1, 0)$.
Sekarang kita akan mencari daerah penyelesaiannya dengan uji titik $(0, 0)$ pada pertidaksamaan $2x-y \leq 2$.
$2(0)-0 = 0 \leq 2$ (BENAR)
Ini berarti, daerah penyelesaiannya ada di daerah yang memuat titik $(0, 0)$. Dengan demikian, gambar grafik $2x-y \leq 2$ adalah sebagai berikut.
Kedua, akan digambar grafik dari $x+y \leq 10$.
Uji titik untuk persamaan $x+y=10$.
$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 10 \\ \hline y & 10 & 0 \\ \hline (x, y) & (0, 10) & (10, 0) \\ \hline \end{array}$
Grafik melalui titik $(0, 10)$ dan $(10, 0)$.
Sekarang kita akan mencari daerah penyelesaiannya dengan uji titik $(0, 0)$ pada pertidaksamaan $x+y \leq 10$.
$0+0 = 0 \leq 10$ (BENAR)
Ini berarti, daerah penyelesaiannya ada di daerah yang memuat titik $(0, 0)$. Dengan demikian, gambar grafik $x+y \leq 10$ adalah sebagai berikut.
Ketiga, akan digambar grafik dari $x \geq-2$.
Posisikan titik $(-2, 0)$, lalu tarik garis tegak (vertikal) panjang melalui titik tersebut. Karena bertanda lebih besar, maka daerah penyelesaiannya di sebelah kanan garis seperti gambar berikut.
Sekarang, gabungkan ketiga grafik dalam satu sistem koordinat sehingga akan ditemukan daerah penyelesaian yang dimaksud pada soal.
Daerah penyelesaiannya berupa sebuah segitiga sembarang. Kita namai sebagai segitiga $ABC$.
Koordinat titik $A$ dapat dicari dengan mensubstitusikan $x =-2$ pada persamaan $x + y = 10$.
$\color{red}{-2} + y = 10 \Leftrightarrow y = 12$
Jadi, koordinat titik $A$ adalah $(-2, 12)$.
Koordinat titik $B$ dapat dicari dengan mensubstitusikan $x =-2$ pada persamaan $2x-y = 2$.
$2\color{red}{-2}-y = 2 \Leftrightarrow-4-y = 2 \Leftrightarrow y =-6$
Jadi, koordinat titik $B$ adalah $(-2,-6)$.
Titik $C$ merupakan titik potong garis $x + y = 10$ dan $2x-y=2$.
Substitusi $x = 10-y$ pada $2x-y=2$ untuk mendapatkan
$\begin{aligned} 2\color{blue}{(10-y)}-y & = 2 \\ 20-3y & = 2 \\-3y & =-18 \\ y & = 6 \end{aligned}$
Substitusi $y = 6$ pada persamaan $x+y=10$ sehingga diperoleh $x=4$.
Jadi, koordinat titik $C$ adalah $(4, 6)$.
Sekarang, kita dapat mengukur panjang alas dan tinggi segitiga seperti gambar berikut.
Luas segitiga $ABC$ adalah
$\text{L} = \dfrac{a \times t}{2} = \dfrac{\cancelto{9}{18} \times 6}{\cancel{2}} = 54$
Jadi, Luas daerah yang dibatasi oleh $2x-y \leq 2$, $x+y \leq 10$, dan $x \geq-2$ adalah $54$ satuan luas.
(Jawaban D)
Soal Nomor 10 ($\bigstar$)
Agar fungsi $f(x, y)=nx+4y$ dengan kendala $2x+y \geq 10$, $x+2y \geq 8$, $x \geq 0$, dan $y \geq 0$ mencapai minimum hanya di titik $(4, 2)$, maka konstanta $n$ memenuhi $\cdots \cdot$
A. $n \leq -8$ atau $n \geq -2$
B. $n \leq 2$ atau $n \geq 8$
C. $-2 \leq n \leq 8$
D. $2 \leq n \leq 8$
E. $2 \leq n \leq 10$
Gunakan konsep gradien fungsi.
$$\boxed{\text{Garis}~ax+by+c=0~\text{memiliki gra}\text{dien}~m = -\dfrac{a}{b}}$$
- Gradien $f(x, y) = nx + 4y$ adalah $m = -\dfrac{n}{4}$.
- Gradien $2x+y=10$ adalah $m=-2$.
- Gradien $x+2y=8$ adalah $m=-\dfrac12$.
Perhatikan bahwa titik $(4, 2)$ merupakan titik potong kedua kendala seperti tampak pada gambar.
Agar $f$ selalu minimum di $(4, 2)$, maka gradien garisnya harus di antara gradien kedua kendala itu (inklusif), yakni
$\begin{aligned} -2 \leq -\dfrac{n}{4} \leq -\dfrac12 \\ \dfrac12 \leq \dfrac{n}{4} \leq 2 \\ 2 \leq n \leq 8 \end{aligned}$
Jadi, nilai konstanta $n$ adalah $\boxed{2 \leq n \leq 8}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 11 ($\bigstar$)
Jika nilai maksimum $x+y$ pada himpunan $\{(x, y)~|~x \geq 0, y \geq 0, x+3y \leq 6, 3x+y \leq a\}$ adalah $4$, maka nilai $a = \cdots \cdot$
A. $6$ C. $10$ E. $16$
B. $8$ D. $12$
Syarat batas nilai $x$ adalah
$\begin{cases} x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \\ \color{blue}{x+3y} & \leq \color{blue}{6} \\ \color{red}{3x+y} & \leq \color{red}{a} \end{cases}$
Dari sini, kita dapat peroleh
$\begin{aligned} \color{blue}{(x+3y)}+\color{red}{(3x+y)} & \leq \color{blue}{6}+\color{red}{a} \\ 4x+4y & \leq 6+a \\ 4(x+y) & \leq 6+a \end{aligned}$
Nilai maksimum $x+y$ adalah $4$ sehingga
$\begin{aligned} 4 \times \color{blue}{4} & = 6+a \\ 16 & = 6+a \\ a & = 10 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{a=10}$
(Jawaban C)
Source : https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-program-linear-tingkat-sma-sederajat/