XI 3.3 : Operasi pada Matriks (Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Matriks)

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

Oke, berhubung penjelasan awal tentang matriks sudah dibahas, kita akan lanjut ke materi berikutnya, yaitu operasi aljabar matriks. Terdapat tiga macam bentuk operasi aljabar pada matriks, yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Kira-kira, bagaimana ya cara menyelesaikan masing-masing operasi tersebut? Mari kita simak penjelasannya berikut ini!

Pertama, ada operasi penjumlahan dan pengurangan matriks. Kita akan bahas satu-persatu dimulai dari operasi penjumlahannya terlebih dahulu, ya.

1. Penjumlahan matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dan matriks B. Jika matriks C adalah matriks penjumlahan dari A dengan B, maka matriks C dapat diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen pada matriks A yang seletak dengan setiap elemen pada matriks B.

Oleh karena itu, syarat agar dua atau lebih matriks dapat dijumlahkan adalah harus memiliki ordo yang sama.

Contoh 1 :

Diketahui matriks A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ dan matriks B = $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$.

Tentukanlah matriks A + B!

Jawab :

Hasil dari A + B dapat diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B.

$\begin{aligned} A + B &= \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & 1 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1+4 & 2+1 \\ 4+(-4) & 6+5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 0 & 11\end{pmatrix}\end{aligned}$

Contoh 2 :

Diberikan matriks berikut!

S = $\begin{pmatrix}7 & 5 \\ 5 & 3 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}$, T = $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$

Tentukan S + T!

Jawab :

$\begin{aligned} S + T &= \begin{pmatrix}7 & 5 \\ 5 & 3 \\ 10 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7+4 & 5+1 \\ 5+1 & 3+2 \\ 10+5 & 4+3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 11 & 6 \\ 6 & 5 \\ 15 & 7\end{pmatrix} \end{aligned}$

Contoh 3 :

Diketahui Matriks C = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ dan D = $\begin{pmatrix} 5 & 6 & -4 \\ 4 & -3 & 0 \\ 4 & -5 & 3 \end{pmatrix}$.

Tentukanlah $C + D^t$

Jawab :

Sebelum menentukan nilai $C + D^t$ kita harus menentukan matriks $D^T$ terlebih dahulu.

$D = \begin{pmatrix} 5 & 6 & -4 \\ 4 & -3 & 0 \\ 4 & -5 & 3 \end{pmatrix}$

$D^t = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 6 & -3 & -5 \\ -4 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{aligned}C + D^t &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \\ 3 & 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 6 & -3 & -5 \\ -4 & 0 & 3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1+5 & 0+4 & 1+4 \\ (-1)+6 & 2+(-3) & (-4)+(-5) \\ 3+(-4) & 2+0 & 0+3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 6 & 4 & 5 \\ 5 & -1 & -9 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\end{aligned}$

Paham, ya. Selanjutnya ada operasi pengurangan matriks. Tapi, sebelum masuk ke bahasan tentang operasi pengurangan matriks, kamu harus tahu dulu istilah tentang lawan suatu matriks. Wadaw! Apaan, tuh?!

Namanya juga lawan, bos. Pasti antara matriks yang satu dengan matriks yang lain akan saling bertentangan. Gampangnya sih, kalau yang satu nilainya positif, pasti yang satu lagi nilainya bakal negatif. Jadi, kalau ada matriks A, maka lawan matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan lawan dari elemen-elemen matriks A tersebut. 

A = [a_ij], lawan matriks A ditulis -A = [-a_ij]

2. Pengurangan matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dan matriks B. Jika matriks C adalah matriks pengurangan dari A dengan B, maka matriks C dapat diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen pada matriks A yang seletak dengan setiap elemen pada matriks B.

Pada dasarnya, pengurangan sama halnya dengan penjumlahan terhadap lawan bilangan penambah, sehingga pengurangan matriks A dengan matriks B dapat diartikan sebagai penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B.

A – B = A + (-B)

Sama halnya dengan syarat penjumlahan matriks, dua atau lebih matriks hanya dapat dikurangkan apabila memiliki ordo yang sama, anak-anak. Nah, supaya kamu nggak bingung, kita coba kerjakan contoh soal di bawah ini, yuk. Gaasss~

Contoh 4 :

Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$ dan matriks $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -4 & 9 \end{pmatrix}$.

Tentukan hasil dari matriks A – B!

Hasil dari A – B dapat diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B. 

$\begin{aligned} A – B &= \begin{pmatrix} -7 & 5 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -4 & 9 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-7)-1 & 5-1 \\ 4-(-4) & 8-9 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}-8 & 4 \\ 8 & -1\end{pmatrix}\end{aligned}$

Contoh 5 :

Diberikan matriks berikut ini

$J = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 5 & 4 \end{pmatrix}$ dan $K = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & -4 \end{pmatrix}$.

Tentukanlah J – K!

Jawab :

$\begin{aligned}J – K &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 5 & 4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -1 & 0 & -4 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 1-2 & 2-4 & 3-6 \\ 6-(-1) & 5-0 & 4-(-4) \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 7 & 5 & 8 \end{pmatrix} \end{aligned}$

Gimana? Paham ya sampai di sini. Kalau gitu, kita lanjut ke operasi aljabar matriks berikutnya, yok! 

Operasi perkalian matriks dibagi menjadi dua nih, yaitu perkalian matriks dengan bilangan real (skalar) dan perkalian antarmatriks. Kita simak pembahasan berikut untuk tahu bagaimana cara menyelesaikannya, ya.

1. Perkalian matriks dengan bilangan real (skalar)

Misalkan terdapat matriks A berordo m × n dan suatu bilangan real (skalar), yaitu k. Perkalian antara matriks A dengan skalar k dapat ditulis dengan kA yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan skalar k.

$\begin{aligned}kA &= k \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{pmatrix} \end{aligned}$

Perkalian suatu matriks dengan skalar dapat dilakukan tanpa syarat tertentu. Artinya, semua matriks dengan ordo sembarang dapat dikalikan dengan bilangan real (skalar).

Contoh 6 :

Jika $A = \begin{pmatrix}2 & -4 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix}-5 & 2 \\ 3 & -5\end{pmatrix}$

Tentukanlah :

a. 2A
b. 3B
c. 2A + 3B

Jawab :

a. 2A

$\begin{aligned}2A &= 2\begin{pmatrix}2 & -4 \\ 0 & 3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}2(2) & 2(-4) \\ 2(0) & 2(3)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4 & -8 \\ 0 & 6\end{pmatrix}\end{aligned}$

b. 3B

$\begin{aligned}3B &= 3\begin{pmatrix}-5 & 2 \\ 3 & -5\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}3(-5) & 3(2) \\ 3(3) & 3(-5)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}-15 & 6 \\ 9 & -15\end{pmatrix}\end{aligned}$

c. 2A + 3B

$\begin{aligned}2A + 3B &= \begin{pmatrix}4 & -8 \\ 0 & 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-15 & 6 \\ 9 & -15\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4+(-15) & (-8)+6 \\ 0+9 & 6+(-15)\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}-11 & -2 \\ 9 & -9 \end{pmatrix} \end{aligned}$

2. Perkalian matriks dengan matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks, yaitu matriks A dengan ordo m × p dan matriks B dengan ordo p × n. Perkalian matriks A dengan matriks B dapat ditulis dengan A × B yang diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B, dengan i = 1, 2, 3, …, m dan j = 1, 2, 3, …, n.

Syarat agar dua buah matriks dapat dikalikan adalah matriks pertama harus memiliki jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

Ordo matriks hasil perkalian dua buah matriks adalah jumlah baris pertama dikali jumlah kolom ke dua.

Hmm… Pasti kamu bingung ya maksudnya gimana. Oke, supaya kamu nggak bingung, kita coba kerjakan soal di bawah ini, yuks! 

Contoh 7 :

Diketahui matriks $A = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$. Tentukan matriks A x B!

Jumlah kolom matriks A adalah 2 dan jumlah baris matriks B adalah 2. Matriks A memiliki jumlah kolom yang sama dengan jumlah baris matriks B, sehingga syarat perkalian antarmatriks sudah terpenuhi.

Selanjutnya, kita dapat mengalikan setiap elemen baris di matriks A dengan setiap elemen kolom di matriks B. Coba kamu perhatikan lingkaran berwarna pada tiap-tiap elemen matriks di bawah ini, ya. Lingkaran merah dipasangkan dengan lingkaran merah dan lingkaran biru dipasangankan dengan lingkaran biru.

Jadi, a₁₁ akan dikalikan dengan b₁₁, a₁₂ dikalikan dengan b₂₁, a₂₁ dikalikan dengan b₁₁, dan a₂₂ dikalikan dengan b₂₁.

Lalu, jumlahkan hasil kali elemen-elemennya menjadi seperti ini:

$\begin{pmatrix}6(1) + 3(2) \\ 4(1) + 8(2) \end{pmatrix}$

Sehingga, hasil kali matriks A dengan matriks B adalah sebagai berikut:

$\begin{pmatrix}6 + 6 \\ 4 + 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 \\ 20\end{pmatrix}$

Contoh 8 :

Diketahui Matriks berikut ini

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Tentukan matrik A x B !

Jawab :

Perkalian 2 matriks A dan B dapat dilakukan dengan cara berikut ini

Contoh 9 :

Tentukanlah hasil kali P dan Q jika

$P = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}, Q = \begin{pmatrix}k & l \\ m & n\end{pmatrix}$

Jawab :

Perkalian 2 matris P dan Q dapat dilakukan dengan cara berikut ini

Contoh 10

Jika $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, Q = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$, maka tentukanlah
a. P x Q
b. Q x P

Jawab :
a. P x Q
$\begin{aligned}P x Q &= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} 1(-2)+2(-1) & 1(0) +2(5) \\ 3(-2)+4(-1) & 3(0)+4(5) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (-2)+(-2) & 0 + 10 \\ (-6)+(-4) & 0 + 20 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -4 & 10 \\ -10 & 20 \end{pmatrix}\end{aligned}$

b. Q x P

$\begin{aligned}Q x P &= \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} (-2)1 + 0(3) & (-2)2 + 0(4) \\ (-1)1 + 5(3) & (-1)2 + 5(4) \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} (-2)+0 & (-4) + 0 \\ (-1)+(15) & (-2) + 20 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ -14 & 18 \end{pmatrix}\end{aligned}$

Mudah ya, anak-anak. Meskipun begitu, kamu harus banyak berlatih soal, nih. Kenapa? Biasanya, kamu akan masih suka bingung dan kadang suka tertukar saat mengalikan elemen matriks yang satu dengan elemen matriks yang lainnya. Jadi, jangan malas untuk sekedar latihan soal, ya!

Oke, selesai sudah materi kita kali ini, ya. Gimana? Seru kan belajar matriks! Nah, kalau kamu masih merasa latihan soal di atas tadi kurang untuk melatih kemampuan kamu, di bawah ini masih ada satu soal lagi yang bisa kamu kerjakan, nih. Coba kamu kerjakan dan tulis jawabanmu di kolom komentar, ya!