Kombinasi adalah menentukan banyak susunan dari objek yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya.
Jika $n$ adalah banyak unsur yang tersedia dan $r$ adalah banyak unsur yang akan dipilih, maka
$_nC_r = C_r^n = C_{(n, r)} = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
Contoh 1 :
Dari 4 siswa akan dipilih 2 orang sebagai perwakilan sekolah untuk mengikuti studi tour. Tentukan banyak pilihan yang mungkin dibuat!
Jawab :
Sebenarnya dengan mudah, kita bisa menghitungnya.
Misalkan, siswa yang tersedia adalah A, B, C dan D
Maka pilihan yang mungkin dibuat dengan menentukan 2 orang adalah :
A & B
A & C
A & D
B & C
B & D, atau
C & D
Ini berarti ada 6 pilihan.
Kenapa pakai konsep kombinasi? Kenapa bukan permutasi?
Karena pimilihan siswa A & B sama juga maknanya kalau siswa B & A.
Mau A & B atau B & A, siswa yang berangkat ikut studi tour ya sama sebenarnya.
AB = BA (urutan tidak diperhatikan), berarti kombinasi.
Jika dihitung menggunakan konsep kombinasi, maka :
$n = 4$
$r = 2$
$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
$\begin{aligned} _4C_2 &= \frac{4!}{(4-2)!.2!} \\ &= \frac{4.3.\textcolor{red}{2!}}{\textcolor{red}{2!}.2!} \\ &= \frac{4.3}{2.1} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= 6 \end{aligned}$
Jadi, menggunakan cara biasa, atau kombinasi, hasilnya sama saja yaitu 6.
Sehingga, banyak kemungkinan pilihan yang dapat dibuat jika ada 4 siswa akan dipilih 2 adalah 6 pilihan.
Contoh 2 :
Pada sebuah lingkaran terdapat 8 titik berbeda. Dengan menggunakan ke-delapan titik tersebut akan dibuat tali busur berbeda. Tentukan banyak tali busur yang dapat dibuat!
Jawab :
Tali busur dapat dibuat dengan menghubungkan 2 titik.
Dua titik dihubungkan, menggunakan konsep kombinasi. Karena titik A dihubungkan titik B, hasilnya sama juga dengan titik B dihubungkan dengan titik A.
Sehingga, pada kasus ini, $n = 8$, $r = 2$
$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
$\begin{aligned} _8C_2 &= \frac{8!}{(8-2)!.2!} \\ &= \frac{8.7.\textcolor{red}{6!}}{\textcolor{red}{6!}.2!} \\ &= \frac{8.7}{2.1} \\ &= \frac{56}{2} \\ &= 28 \end{aligned}$
Jadi, dari 8 titik pada lingkaran dapat dibuat 28 tali busur.
Contoh 3 :
Tentukan banyak susunan pemain bola volley yang dapat disusun jika tersedia 12 pemain!
Jawab :
Apakah 6 pemain terpilih pakai kombinasi atau permutasi?
Pakai kombinasi. Karena tidak ditentukan posisi pemain, yang penting ada 6 pemain saja.
Diketahui :
$n = 12$
$r = 6 \to$ Jumlah pemain bola volley dalam 1 tim adalah $6$
Sehingga
$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
$\begin{aligned} _{12}C_6 &= \frac{12!}{(12-6)!.6!} \\ &= \frac{12.11.10.9.8.7.\textcolor{red}{6!}}{\textcolor{red}{6!}.6!} \\ &= \frac{12.11.10.9.8.7}{6.5.4.3.2.1} \\ &= \frac{665.280}{720} \\ &= 924 \end{aligned}$
Jadi, dari 12 pemain tersedia, bisa dibuat 924 kemungkinan susunan tim.
Contoh 4 :
Dalam sebuah kotak terdapat 7 bola warna merah dan 4 bola warna putih. Akan diambil 4 bola. Tentukan banyak cara mengambil 2 bola warna merah dan 2 bola warna putih!
Jawab :
Apakah pakai kombinasi?
Ya!
2 bola terpilih tidak memiliki predikat. Yang penting 2 bola warna sama. Urutan gak masalah.
Kita pilih dulu bola warna merah, karena total ada 7 bola warna merah dan akan diambil 2, maka $n = 7, r = 2$, sehingga banyak cara mengambil bola merah adalah :
$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
$\begin{aligned} _7C_2 &= \frac{7!}{(7-2)!.2!} \\ &= \frac{7.6.\textcolor{red}{5!}}{\textcolor{red}{5!}.2!} \\ &= \frac{7.6}{2.1} \\ &= \frac{42}{2} \\ &= 21 \end{aligned}$
Banyak cara mengambil 2 bola warna putih dan 4 bola warna putih yang tersedia,
$n = 4, r = 2$, sehingga banyak cara mengambil bola putih adalah :
$\begin{aligned} _4C_2 &= \frac{4!}{(4-2)!.2!} \\ &= \frac{4.3.\textcolor{red}{2!}}{\textcolor{red}{2!}.2!} \\ &= \frac{4.3}{2.1} \\ &= \frac{12}{2} \\ &= 6 \end{aligned}$
Banyak cara mengambil 2 bola merah DAN 2 bola putih = 21 x 6 = 126 cara.
Cek lagi tentang aturan perkalian!
Contoh 5 :
Dalam sebuah ruangan terdapat 20 orang yang belum saling kenal. Mereka saling melakukan jabat tangan satu sama lain. Tentukan banyak jabat tangan yang terjadi!
Jawab :
Untuk melakukan 1 jabat tangan, maka 2 orang terlibat.
Apakah kombinasi atau permutasi kasus ini?
Kombinasi. A jabat tangan dengan B kan artinya sama dengan B jabat tangan dengan A. Ya toh?!
Hal ini berarti bahwa $r$ = 2, dan $n = 20 \to$ total orang dalam ruangan.
Sehingga, banyak jabat tangan yang terjadi dapat dihitung dengan $_{20}C_2$
$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
$\begin{aligned} _{20}C_2 &= \frac{20!}{(20-2)!.2!} \\ &= \frac{20.19.\textcolor{red}{18!}}{\textcolor{red}{18!}.2!} \\ &= \frac{20.19}{2.1} \\ &= \frac{380}{2} \\ &= 190 \end{aligned}$
Jadi, banyak jabat tangan yang terjadi adalah 190 kali.
Contoh 6 :
Seorang siswa diminta mengerjakan 7 dari 10 soal yang tersedia. Tentukan banyak kombinasi cara memilih nomor-nomor jawaban soal tersebut!
Jawab :
Sederhana sekali, soal yang tersedia ada 10, akan dipilih 7.
$n = 10, r = 7$
Sehingga,
$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
$\begin{aligned} _{10}C_7 &= \frac{10!}{(10-7)!.7!} \\ &= \frac{10.9.8.\textcolor{red}{7!}}{3! \textcolor{red}{7!}} \\ &= \frac{10.9.8}{3.2.1} \\ &= \frac{720}{6} \\ &= 120 \end{aligned}$
Sehingga, banyak kemungkinan pilihan nomor-nomor soal adalah 120 kemungkinan.
Contoh 7 :
Seorang siswa diminta mengerjakan 7 dari 10 soal yang tersedia, degan syarat nomor 1 sampai 5 wajib dikerjakan. Tentukan banyak kombinasi cara memilih nomor-nomor jawaban soal tersebut!
Jawab :
Berbeda dengan nomor sebelumnya.
Pada nomor ini kita harus berhati-hati menentukan $n$ dan $r$.
Dari 10 soal, nomor 1 sampai 5 harus dikerjakan (berarti pilihan yang akan dipilih tinggal nomor 6, 7, 8, 9, 10).
Dengan pengamatan, kita tahu total pilihan tinggal 5 (yaitu nomor 6, 7, 8, 9 dan 10). Sehingga $n = 5$
Bagaimana dengan $r$?
Karena akan dijawab 7 soal (sedangkan nomor 1, 2, 3, 4 dan 5) harus dijawab, maka kita tinggal memilih $2$ soal lagi untuk mencukupkan menjadi 7. Sehingga $r = 2$
So,
$n = 5, r = 2$
Lanjut
$_nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!}$
$\begin{aligned} _5C_2 &= \frac{5!}{(5-2)!.2!} \\ &= \frac{5.4.\textcolor{red}{3!}}{\textcolor{red}{3!}.2!} \\ &= \frac{5.4}{2.1} \\ &= \frac{20}{2} \\ &= 10 \end{aligned}$
Sehingga, banyak kemungkinan pilihan nomor-nomor soal adalah 10 kemungkinan.
Silakan lihat video di bawah ini …