Ini adalah materi terakhir pada kelas XII. Silakan disimak dengan baik.
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
A. Peluang Suatu Kejadian
1. Percobaan & Ruang Sampel
Percobaan adalah tindakan atau kegiatan untuk memperoleh hasil tertentu.
$\odot$ Percobaan melempar sebuah mata dadu $\odot$
Pada percobaan pelemparan sebuah mata dadu, maka akan menghasilkan mata dadu 1, mata dadu 2, mata dadu 3, mata dadu 4, mata dadu 5, dan mata dadu 6.
Ada kemungkinan lain?
Tidak ada.
Himpunan dari hasil yang mungkin muncul dari sebuah percobaan disebut sebagai Ruang Sampel, disimbolkan dengan S.
Untuk percobaan pelemparan sebuah mata dadu sebanyak 1x, maka ruang sampelnya dapat ditulis sebagai :
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Setiap anggota dari ruang sampel disebut sebagai titik sampel.
Pada ruang sampel di atas, titik sampelnya adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
Banyaknya titik sampel dalam percobaan di atas ditulis dengan $n(S) = 6$.
$\odot$ Contoh 1 : Percobaan melempar sebuah koin $\odot$
Apa saja ruang sampelnya?
Ada 2 hasil yang mungkin pada pelemparan sebuah koin, yaitu sisi angka atau sisi gambar.
S = {Angka, Gambar}
$n(S) = 2$
$\odot$ Contoh 2 : Percobaan memilih hari $\odot$
Apa saja ruang sampelnya?
Ada 7, yaitu Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu atau Minggu.
S = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
$n(S) = 7$
$\odot$ Contoh 3 : Percobaan melempar 2 koin $\odot$
Ruang sampel pada percobaan melempar 2 koin dapat dilihat pada diagram berikut …
Berdasarkan diagram, dapat diketahui
$S = \left\{(A, A), (A, G), (G,A), (G,G)\right\}$
$n(S) = 4$
$\odot$ Contoh 4 : Percobaan melempar 1 koin & 1 dadu $\odot$
Jika digambarkan tabel, maka akan muncul hasil berikut sebagai ruang sampel
Berdasarkan tabel, maka pada percobaan pelemparan 1 koin dan 1 dadu secara bersamaan ruang sampelnya adalah sebagai berikut ….
$S = \left\{(A, 1), (A, 2), (A, 3), …, (G, 4), (G, 5), (G, 6)\right\}$
$n(S) = 12$
$\odot$ Contoh 5 : Percobaan melempar 3 koin $\odot$
Perhatikan diagram berikut …
Berdasarkan diagram, maka ruang sampel pada percobaan pelemparan 3 buah koin secara bersamaan adalah …
$S = \left\{(A, A, A), (A, A, G), (A, G, A), (A, G, G), (G, A, A), (G, A, G), (G, G, A), (G, G,G)\right\}$
$n(S) = 8$
$\odot$ Contoh 6 : Percobaan melempar 2 buah dadu $\odot$
Pada pelemparan 2 buah dadu ini, berikut adalah gambaran ruang sampelnya ..
$S = \left\{(1,1), (2,1), (3,1), (4,1), …, (5,6), (6,6)\right\}$
$n(S) = 36$
2. Kejadian
Pada percobaan melempar sebuah mata dadu, ada 6 ruang sampel.
$S = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$
$\odot$ Contoh 7 : Kejadian muncul mata dadu ganjil $\odot$
Jika saya hanya menginginkan munculnya mata dadu ganjil, maka …
Kejadian muncul mata dadu ganjil (dimisalkan A), ditulis
$A = \left\{1, 3, 5\right\}$
Himpunan $A = \left\{1, 3, 5\right\}$ yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel $S = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$ disebut sebagai kejadian atau event.
Banyaknya kejadian munculnya angka ganjil pada pelemparan sebuah mata dadu ditulis
$n(A) = 3$
$\odot$ Contoh 8 : Kejadian muncul mata dadu prima $\odot$
Misalkan $B$ adalah kejadian muncul mata dadu prima pada pelemparan sebuah mata dadu, maka
$B = \left\{2, 3, 5\right\}$
$n(B) = 3$
$\odot$ Latihan 1 $\odot$
Budi memiliki 5 kartu yang diberikan nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. Dari percobaan memilih satu buah kartu secara acak, maka ruang sampel dari percobaan tersebut adalah ….
A. $S = {1}$
B. $S = {1, 3, 5}$
C. $S = {1, 2, 3}$
D. $S = {1, 2, 3, 4, 5}$
E. $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$
Sebuah kelompok untuk tugas kelompok matemaitka terdiri dari Asta, Oni, Roni dan Fian. Diketahui pemilihan ketua kelompok dilakukan secara aca. Jika $S$ adalah ruang sampel dari percobaan memilih ketua kelompok tersebut, maka $n(S) =$ …
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
Berikut ini himpunan yang menyatakan kejadian munculnya mata dadu genap pada pelemparan sebuah dadu adalah ….
A. ${1, 3, 5}$
B. ${2, 4, 6}$
C. ${2, 3, 5}$
D. ${1, 4, 6}$
E. ${4, 6}$
Banyaknya titik sampel dari percobaan melempar sebuah dadu dengan 6-muka dan sebuah dadu dengan 4-muka adalah …. buah.
A. 10
B. 16
C. 24
D. 36
E. 64
3. Peluang Sebuah Kejadian
a. Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyaknya kejadian dibandingkan dengan banyaknya percobaan yang dilakukan.
Ditulis
$Frekuensi Relatif = \frac{Banyak Kejadian}{Banyak Percobaan}$
$F(K) = \frac{n(K)}{n(Percobaan)}$
$\odot$ Contoh 9 : Percobaan pelemparan sebuah koin $\odot$
Misalkan, dalam percobaan pelemparan sebuah koin sebanyak 50x, ternyata muncul angka sebanyak 30x dan gambar sebanyak 20x.
Maka
Pelemparan = 50
$n$(Angka) = 30
$n$(Gambar) = 20
F (Angka) = $\frac{30}{50} = \frac{3}{5}$
F (Gambar) = $\frac{20}{50} = \frac{2}{5}$
$\odot$ Contoh 10 : Percobaan pengambilan bola $\odot$
Misalkan dari 10 kali pengambilan bola dari kotak, bola biru terambil 7 kali, dan bola merah terambil 3 kali.
Maka …
Pengambilan = 10
$n$ bola biru = 7
$n$ bola merah = 3
F (bola biru) = $\frac{7}{10}$
F (bola merah) = $\frac{3}{10}$
$\odot$ Peluang Empiris $\odot$
Dengan melihat data, kita bisa memprediksi suatu kejadian.
Peluang empiris suatu kejadian = frekuensi relatif, yaitu perbandingan antara banyaknya kejadian dengan banyaknya percobaan.
b. Peluang Teoritis
Peluang teoritis sebuah kejadikan A diartikan sebagai banyaknya anggota kejadian A dibandingkan dengan banyak ruang sampel (S).
Ditulis …
Jika A adalah suatu kejadian dan S adalah ruang sampel, maka peluang kejadian A didefinisikan sebagai berikut
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$
$P(A)$ = Peluang terjadinya kejadian A
$n(A)$ = Banyak kejadian A
$n(S)$ = Banyak ruang sampel
$\odot$ Contoh 11 : Peluang muncul angka pada pelemparan sebuah koin $\odot$
Misalkan, untuk menentukan peluang muncul sisi angka pada pelemparan sebuah koin sebanyak $1 \times$ dihitung sebagai berikut …
$A$ = Kejadian muncul sisi Angka
$n(A) = 1$
$S = \left\{A, G\right\}$
$n(S) = 2$
Peluang munculnya sisi angka = $P(A)$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$
$P(A) = \frac{1}{2}$
$\odot$ Contoh 12 : Peluang muncul mata dadu genap pada pelemparan sebuah dadu bersisi 6 $\odot$
Jika sebuah dadu dilontarkan sebanyak 1 kali, maka peluang munculnya mata dadu genap dapat dihitung sebagai berikut …
Misalkan
$B$ = Kejadian muncul mata dadu genap
$B = \left\{2, 4, 6\right\}$
$n(B) = 3$
Ruang sampenya adalah $S$
$S = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$
$n(S) = 6$
Peluang munculnya mata dadu genap = $P(B)$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)}$
$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\odot$ Contoh 13 : Contoh Percobaan Memilih 3 Bola Kuning $\odot$
Sebuah kantong berisi 5 bola biru, 3 bola merah dan 4 bola kuning. Dari kantong tersebut akan diambil 3 bola secara acak. Peluang terambil ketiganya merupakan bola kuning adalah …. ?
Jawab :
Percobaan ini akan memilih 3 bola dari total 12 bola (5 + 3 + 4) dari dalam kantong.
Banyaknya ruang sampel akan kita tentukan dengan menggunakan kombinasi.
Kenapa?
Karena akan mengambil 3 bola dari 12 bola dengan ketiganya berwarna kuning tidak memperhatikan urutannya, yang dapat diselesaikan menggunakan aturan kombinasi.
Menentukan Ruang Sampel Kejadian
$n = 12 \to$ Jumlah total bola yang tersedia
$r = 3 \to$ Jumlah bola kuning yang akan diambil
$\begin{aligned}_nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ n(S) &= _{12}C_3 \\ &= \frac{12!}{(12-3)! \times 3!)} \\ &= \frac{12!}{9! \times 3!} \\ &= \frac{12 \times 11 \times 10 \times \textcolor{red}{9!}}{\textcolor{red}{9!} \times 3 \times 2 \times 1} \\ &= \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \\ &= \frac{1.320}{6} \\ &= 220 \end{aligned}$
Ruang sampel ada 220.
$n(S) = 220$
Menentukan Banyak Kejadian
Misalkan banyak kejadian terambil 3 bola kuning dari 4 bola kuning adalah kejadian C.
Kejadian pengambilan 3 bola dari 4 bola kuning yang ada dalam kantong dihitung menggunakan kombinasi
$n = 4$
$r = 3$
$\begin{aligned}_nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ n(C) &= _4C_3 \\ &= \frac{4!}{(4-3)! \times 3!)} \\ &= \frac{4!}{1! \times 3!} \\ &= \frac{4 \times \textcolor{red}{3!}}{1 \times \textcolor{red}{3!}} \\ &= \frac{4}{1} \\ &= 4 \end{aligned}$
Kejadian terambil bola kuning ada 4.
$n(C) = 4$
Menentukan Peluang Kejadian
$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)}$
$P(C) = \frac{4}{220} = \frac{1}{55}$
Jadi, peluang terambil 3 bola berwarna kuning dari dalam kantong adalah $\frac{1}{55}$
$\odot$ Contoh 13 : Percobaan Memilih 3 Bola Biru & 2 Bola Merah $\odot$
Sebuah kantong berisi 5 bola biru, 3 bola merah dan 4 bola kuning. Dari kantong tersebut akan diambil 5 bola secara acak. Peluang terambil 3 bola biru dan 2 bola merah adalah ….?
Jawab :
Soal ini mirip dengan contoh sebelumnya. Kita akan mengambil 5 bola secara acak, dan menentukan peluang terambil 3 bola biru dan 2 bola merah.
Alur berpikir :
- Tentukan Ruang Sampel
- Tentukan Banyak Kejadian terambil 3 bola biru
- Tentukan Banyak kejadian terambil 2 bola merah
- Tentukan banyak kejadian terambil 3 bola biru dan 2 bola merah menggunakan aturan perkalian
- Tentukan peluangnya …
Menentukan Ruang Sampel
Kita harus menentukan ruang sampel pengambilan 5 bola dari 12 bola yang tersedia.
$n = 12$
$r = 5$
$\begin{aligned}_nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ n(S) &= _{12}C_5 \\ &= \frac{12!}{(12-5)! \times 5!)} \\ &= \frac{12!}{7! \times 5!} \\ &= \frac{\textcolor{blue}{12} \times 11 \times \textcolor{green}{10} \times 9 \times 8 \times \times \textcolor{red}{7!}}{\textcolor{red}{7!} \times \textcolor{green}{5} \times \textcolor{blue}{4 \times 3} \textcolor{green}{\times 2} \times 1} \\ &= \frac{11 \times 9 \times 8}{1} \\ &= 792\end{aligned}$
$n(S) = 792$
Kejadian : Memilih 3 Bola Biru dari 5 Bola Biru & Memilih 2 bola merah dari 3 bola merah (Menggunakan aturan perkalian)
- Memilih 3 bola biru dari 5 bola biru
$n = 5$
$r = 3$
$\begin{aligned}_nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ _5C_3 &= \frac{5!}{(5-3)! \times 3!)} \\ &= \frac{5!}{2! \times 3!} \\ &= \frac{5 \times 4 \times \textcolor{red}{3!}}{2 \times 1 \times \textcolor{red}{3!}} \\ &= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \\ &= \frac{20}{2} \\ &= 10 \end{aligned}$
- Memilih 2 bola merah dari 3 bola merah
$n = 3$
$r = 2$
$\begin{aligned}_nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ _3C_2 &= \frac{3!}{(3-2)! \times 2!)} \\ &= \frac{3!}{1! \times 2!} \\ &= \frac{3 \times 2 \times 1}{1 \times 2 \times 1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \end{aligned}$
- Memilih 3 bola dari 5 bola biru DAN memilih 2 bola dari 3 bola merah
Misalkan banyak kejadian 3 bola dari 5 bola biru DAN memilih 2 bola dari 3 bola merah adalah $A$, maka
$n(A) = _5C_3 \times _3C_2$
$n(A) = 10 \times 3$
$n(A) = 30$
Menentukan Peluang Kejadian
Dari perhitungan panjang di atas, kita sudah menemukan bahwa
$n(A) = 30$
$n(S) = 792$
Maka,
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$
$P(A) = \frac{30}{792} = \frac{5}{132}$
Jadi, peluang terambil 3 bola biru dan 2 bola merah adalah $\frac{5}{132}$.
$\odot$ Contoh 14 : Mengambil 1 bola merah, 1 bola biru & 1 bola kuning $\odot$
Sebuah kantong berisi 5 bola biru, 3 bola merah dan 4 bola kuning.
Dari kantong itu diambil 3 bola secara acak. Peluang terambil 1 bola biru, 1 bola merah dan 1 bola kuning adalah …
A. $\frac{3}{11}$
B. $\frac{3}{55}$
C. $\frac{6}{11}$
D. $\frac{6}{55}$
Jawab :
Alur berpikir …
- Tentukan ruang sampel
- Tentukan banyak kejadian terambil 1 bola biru, 1 bola merah dan 1 bola kuning (dengan aturan perkalian)
- Tentukan peluangnya
Menentukan Ruang sampel
Akan diambil 3 bola dari 12 bola.
$\begin{aligned}n(S) &= _{12}C_3 \\ &= \frac{12!}{(12-3)! 3!} \\ &= \frac{12!}{9!3!} \\ &= \frac{12.11.10.9!}{9!3.2.1} \\ &= \frac{12.11.10}{3.2.1} \\ &= \frac{1.320}{6} \\ &= 220 \end{aligned}$
$n(S) = 220$
Menentukan Banyak Kejadian
Kejadian terambil 1 dari 5 bola biru, 1 dari 3 bola merah dan 1 dari 4 bola kuning adalah :
$\begin{aligned}n(A) &= _5C_1 \times _3C_1 \times _4C_1 \\ &= \frac{5!}{(5-1)!1!} \times \frac{3!}{(3-1)!1!} \times \frac{4!}{(4-1)!1!} \\ &= \frac{5!}{4!1!} \times \frac{3!}{2!1!} \times \frac{4!}{3!1!} \\ &= \frac{5.4!}{4!} \times \frac{3.2!}{2!} \times \frac{4.3!}{3!} \\ &= 5 \times 3 \times 4 \\ &= 60 \end{aligned}$
Menentukan Peluang Kejadian
$n(S) = 220$
$n(A) = 60$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$
$P(A) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$
Jadi, peluang terambil 1 bola merah, 1 bola biru dan 1 bola kuning adalah $\frac{3}{11}$.
Tugas 3
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Pastikan tulisanmu rapi ya..
Tulis dengan jelas di sudut kiri atas :
TUGAS 3
Nama :
Kelas :
Foto jawabanmu & kirimkan ke inbox FB saya (m.me/muh.zainalabidin) sebelum 26 Februari 2020 ya ..
- Tentukan peluang munculnya mata dadu berjumlah kurang dari 10 pada pelemparan dua mata dadu secara bersamaan!
- Sebuah kantong berisi 3 bola putih, 5 bola merah, dan 3 bola hitam. Dari kantung tersebut diambil 2 bola secara acak. Tentukan peluang terambil keduanya merupakan bola merah!
- Sebuah kantong berisi 3 bola putih, 5 bola merah, dan 3 bola hitam. Dari kantong tersebut diambil 4 bola secara acak. Tentukan peluang terambil 1 bola putih dan 3 bola merah!
- Sebuah kantong berisi 3 bola putih, 5 bola merah, dan 3 bola hitam. Dari kantong tersebut diambil 3 bola secara acak. Tentukan peluang terambil 1 bola putih, 1 bola merah dan 1 bola hitam!
- Dalam sebuah keranjang, terdapat 3 apel busuk dan 5 apel segar. Akan diambil 3 apel dari keranjang tersebut. Tentukan peluang dua apel diantaranya merupakan apel busuk!