Sebelumnya kita sudah membahas beberapa turunan fungsi aljabar (part 1), silakan klik di https://bdr.masbied.com/bdr-genap-kelas-xi/2334/xi-7-2-rumus-turunan-fungsi/ jika belum membaca yah. Kali ini kita akan lanjutkan beberapa rumus turunan fungsi lagi.
Ayo semangat .. Lanjutkan lambat-lambat saja bacanya, jika ada yang belum jelas silakan tanyakan di grup belajar yah.
6. Turunan $f(x) = a.u(x)$
Jika $\boxed{f(x)=a.u(x) \to f'(x) = a.u'(x)}$
Contoh 1 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x) = 8(4x-3x^2+2)$ adalah ….
Jawab :
Melihat konsep $f(x)=a.u(x) \to f'(x) = a.u'(x)$, maka kita dapat memisalkan sebagai berikut :
$\begin{aligned}f(x) = 8(4x-3x^2+2) \to a &= 8 \\ u(x) &=4x-3x^2+2 \\ u'(x) &= 4 – 2.3.x^{2-1} + 0 \\ &= 4-6x^1 \\ &= 4-6x \end{aligned}$
Sehingga bisa ditulis :
$\begin{aligned}f'(x) &= a.u'(x) \\ &= 8.(4-6x) \\ &= 32 – 48x \end{aligned}$
Sebenarnya, turunan pertama dari $f(x) = 8(4x-3x^2+2)$ bisa kita kerjakan dengan cara lain, yakni dengan mengalikan terlebih dahulu angka $8$ dengan fungsi di dalam kurung, kemudian menggunakan aturan penjumlahan pengurangan untuk menentukan turunannya. Coba kita kerjakan dengan cara itu.
$\begin{aligned}f(x) &= 8(4x-3x^2+2) \\ &= 32x – 24x^2 + 16 \\ f'(x) &= 32 – 2.24.x^{2-1} + 0 \\ &= 32 – 48x \end{aligned}$
$\therefore f(x) = 8(4x-3x^2+2) \to f'(x)=32 – 48x$
Siip, pilih mana saja yang kamu suka caranya.
Inti dari aturan ini adalah jika $f(x)=a.u(x) \to f'(x) = a.u'(x)$
Contoh 2 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x) = 2.500(x^4 +2x^3-x)$ adalah ….
Jawab :
$\begin{aligned}f(x) &= 2.500(x^4 +2x^3-x) \\ a &= 2.500 \\ u(x) &=x^4 +2x^3-x \\ u'(x) &= 4.1.x^{4-1} +3.2.x^{3-1} – 1 \\ &= 4x^3 + 6x^2 -1 \\ f'(x) &= a.u'(x) \\ &= 2.500.(4x^3 + 6x^2 -1) \\ &=10.000x^3+12.000x^2-2.500 \end{aligned}$
$\therefore f(x)= 2.500(x^4 +2x^3-x) \to f'(x) = 10.000x^3+12.000x^2-2.500 $
7. Aturan Rantai pada Turunan $z=f(g(x))$
Terdapat aturan rantai untuk menentukan turunan fungsi $z =f(g(x))$ yakni sebagai berikut :
$\boxed{z =f(g(x)) \to \frac{dz}{dx}=f'(g(x)) \times g'(x)}$
Aturan ini dikenal dengan aturan rantai.
Misal :
$\begin{aligned}g(x) &=y \\ z &= f(y) \\ \textcolor{red}{\frac{dz}{dy}} &= \textcolor{red}{f'(y)} \\ y &=g(x) \\ \textcolor{blue}{\frac{dy}{dx}} &=\textcolor{blue}{g'(x)}\end{aligned}$
Untuk menyelesaikan turunan pada fungsi $z$, kita dapat memanfaatkan hubungan ini :
$\begin{aligned}\frac{dz}{dx} &= \textcolor{red}{\frac{dz}{dy}} \times \textcolor{blue}{\frac{dy}{dx}} \\ &= \textcolor{red}{f'(y)} \times \textcolor{blue}{g'(x)} \to g(x) = y \\ &= f'(g(x)) \times g'(x) \end{aligned}$
Bagian ini terlihat rumit. Haha …
Tapi sebenarnya, nanti saat masuk ke contoh soal, akan terlihat lebih gampang.
Kalo boleh menggunakan bahasa yang lebih gampang, maka turunan dari $z =f(g(x)) \to \frac{dz}{dx}=f'(g(x)) \times g'(x)$ adalah :
Turunan dari $z = f(g(x))$ adalah TURUNAN LUAR dikali TURUNAN DALAM.
$f(g(x))$ adalah bagian LUAR.
$(g(x)$ adalah bagian DALAM.
Langsung masuk contohlah biar tidak pusing …
Contoh 3 :
Turunan pertama dari fungsi $z(x)=(2x+3)^3$ adalah …
Jawab :
Bentuk ini sebenarnya bisa dijabarkan, tapi repot. Caranya? Ya bilangan di dalam tanda kurung dipangkatkan 3. Cuma jadinya makin panjang.
Dengan cara gampang kita gunakan aturan TURUNAN LUAR $\times$ TURUNAN DALAM. Tinggal memilih, mana luar, mana dalam …
$z(x)=(2x+3)^3$
Misalkan :
BAGIAN DALAM $\to y = 2x+3$
BAGIAN LUAR (Keseluruhan) $\to z = y^3$
Lho, kok bisa $z = y^3$?
Ya bisa..
Kan pemisalan kita $\textcolor{red}{y=2x+3}$, karena bentuk $z = \textcolor{red}{(2x+3)}^3$, bisa ditulis $z = \textcolor{red}{y}^3$ toh..
Kalau begitu,
BAGIAN DALAM $\to y = 2x+3$
BAGIAN LUAR (Keseluruhan) $\to z = y^3$
TURUNAN DALAM $\to \frac{dy}{dx} = y'(x) = 2$
TURUNAN LUAR $\to \frac{dz}{dy} = z'(y) = 3.1.y^{3-1} = 3y^2$
Sehingga, turunan dari $z(x)=(2x+3)^3$ bisa ditulis ..
$z(x)=(2x+3)^3$
$z'(x)=$TURUNAN LUAR $\times$ TURUNAN DALAM
$\begin{aligned}z'(x)&=\frac{dz}{dy} \times \frac{dy}{dx} \\ &=3y^2 \times 2 \\ &=6y^2 \textcolor{blue}{\to y=2x+3} \\ &=6(2x+3)^2 \\ &= 6(4x^2 + 12x+9) \\ &= 24x^2 + 72x + 54 \end{aligned}$
$\therefore z(x)=(2x+3)^3 \to z'(x)=24x^2 + 72x + 54$
Semoga bisa dipahami yah …
Kita lanjut contoh berikutnya.
Tanamkan dalam pikiran, bahwa aturan rantai pada fungsi semisal $z(x)$ di atas adalah TURUNAN LUAR $\times$ TURUNAN DALAM. Gitu saja. Masalah simbol, mungkin bikin ribet. Tapi intinya langkahnya sebenarnya sederhana. Tinggal kamu tentukan, mana luar, mana dalam.
Bagian dalam adalah bagian terkecil dari fungsi tersebut. Biasanya ditandai dengan bagian yang ada di dalam tanda kurung. Okeh Bosku?!
Contoh 4 :
Turunan pertama dari fungsi $z(x) = 2(x^2+1)^5$ adalah ….
Jawab :
Kita gunakan aturan rantai,
BAGIAN DALAM adalah $y = (x^2+1)$
BAGIAN LUAR adalah $2(y)^5$.
Lalu …
TURUNAN DALAM $\to \frac{dy}{dx} = 2.x+0 = 2x$
TURUNAN LUAR $\to \frac{dz}{dy} = 5.2.y^{5-1} = 10y^4$
Sehingga,
$z(x) = 2(x^2+1)^5$
$z'(x) =$ TURUNAN LUAR $\times$ TURUNAN DALAM.
$\begin{aligned} z'(x) &=\frac{dz}{dy} \times \frac{dy}{dx} \\ &=10y^4 \times 2x \\ &= 20xy^4 \textcolor{blue}{\to y=(x^2+1)} \\ &= 20x(x^2+1)^4 \end{aligned}$
$\therefore z(x) = 2(x^2+1)^5 \to z'(x)=20x(x^2+1)^4$
Contoh 5 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x) = (3x-2)^7$ adalah ….
Jawab :
BAGIAN DALAM, misalkan $u = (3x-2)$
BAGIAN LUAR, misalkan $y = u^7$
TURUNAN DALAM, $\frac{du}{dx} = 3$
TURUNAN LUAR, $\frac{dy}{du} = 7.u^{7-1} = 7u^6$
Lanjut …
$f(x) = (3x-2)^7$
$f'(x) =$ TURUNAN LUAR $\times$ TURUNAN DALAM
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \\ &= 7u^6 \times 3 \\ &= 21u^6 \textcolor{blue}{\to u = (3x-2)} \\ &= 21(3x-2)^6 \end{aligned}$
$\therefore f(x) = (3x-2)^7 \to f'(x)=21(3x-2)^6$
Nah, semoga makin paham.
*Note :
$u = (3x-2)$, turunannya disimbolkan $\frac{du}{dx}$, $u$ diturunkan terhadap $x$
$y = u^7$, turunannya disimbolkan $\frac{dy}{du}$, $y$ diturunkan terhadap $u$
$y = (x^2+1)$, turunannya disimbolkan $\frac{dy}{dx}$, $y$ diturunkan terhadap $x$
$z = 2(y)^5$,turunannya disimbolkan $\frac{dz}{dy}$, $z$ diturunkan terhadap $y$
Jadi simbol $\frac{dy}{dx}, \frac{dz}{dy}, \frac{dy}{du}$ dst bisa berubah sesuai dengan fungsi yang digunakan yah..
Kalau kamu paham aturan TURUNAN LUAR $\times$ TURUNAN DALAM, simbol bukanlah masalah. Okeh?!
Contoh 6 :
Jika $f(x) = (2x^2+5x+3)^3$, maka nilai dari $f'(-2)$ adalah ….
Jawab :
$f(x) = (2x^2+5x+3)^3$
Misalkan,
$u(x)=2x^2+5x+3 \to \frac{du}{dx}=4x+5$
$f(x)=u^3 \to \frac{dy}{du}=3u^2$
$\begin{aligned}f'(x)&=\frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \\ &=3u^2 \times 4x+5 \\ &= 3(4x+5).u^2 \textcolor{blue}{\to u=2x^2+5x+3} \\ &=(12x+15)(2x^2+5x+3)^2 \end{aligned}$
Karena $f'(x) = (12x+15)(2x^2+5x+3)^2$, maka $f'(-2)$ berarti semua nilai $x$ pada persamaan diganti dengan $-2$ menjadi
$f'(x) = (12x+15)(2x^2+5x+3)^2$
$\begin{aligned}f'(-2)&=(12.(-2)+15)(2.(-2)^2+5(-2)+3)^2 \\ &=(-24+15)(2.4-10+3)^2 \\ &=(9)(1)^2 \\ &= 9 \end{aligned}$
$\therefore f(x) = (2x^2+5x+3)^3 \to f'(-2)=9$
8. Turunan Perkalian Fungsi $f(x) = u(x).v(x)$
Jika $\boxed{f(x) = u(x).v(x) \to f'(x) =u'(x).v(x) + u(x).v'(x)}$
Pada bentuk fungsi yang melibatkan perkalian, kita akan misalkan fungsi pembentuknya sebagai $u(x)$ dan $v(x)$
Contoh 7 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x) = 5x^3(2x^2+4)$ adalah ….
Jawab :
Pada fungsi $f(x) = 5x^3(2x^2+4)$, kita melihat terdapat 2 bentuk, yakni $5x^3$ dan $(2x^2+4)$.
Misalkan ..
$\begin{aligned}u(x) &= 5x^3 \to u'(x) = 3.5.x^{3-1} = 15x^2 \\ v(x) &= 2x^2+4 \to v'(x) = 2.2.x^{2-1} + 0 = 4x^1 = 4x \end{aligned}$
Sehingga bisa ditulis
$\begin{aligned}f(x) &= 5x^3(2x^2+4) \\ f'(x) &= u'(x).v(x) + u(x).v'(x) \\ &= 15x^2.(2x^2+4) + 5x^3.(4x) \\ &= 30x^4+60x^2 +20x^4 \\ &= 50x^4 + 60x^2 \end{aligned}$
$\therefore f(x) =5x^3(2x^2+4) \to f'(x) =50x^4 + 60x^2 $
Contoh 8 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x) = (3x+2)(4x-1)$ adalah ….
Jawab :
Pada fungsi $f(x) = (3x+2)(4x-1)$ kita melihat 2 bentuk, yakni $(3x+2)$ dan $(4x-1)$
Misalkan …
$\begin{aligned}u(x) &= 3x+2 \to u'(x) = 3 \\ v(x) &= 4x-1 \to v'(x) = 4 \end{aligned}$
Sehingga bisa ditulis
$\begin{aligned}f(x) &= (3x+2)(4x-1) \\ f'(x) &= u'(x).v(x) + u(x).v'(x) \\ &= 3.(4x-1) + (3x+2).4 \\ &= 12x-3+ 12x+8 \\ &= 12x+12x-3+8 \\ &= 24x +5 \end{aligned}$
$\therefore f(x) =(3x+2)(4x-1) \to f'(x)=24x +5$
Contoh 9 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x) = 4x(2x+3)^4$ adalah ….
Jawab :
Ingat, bahwa ini adalah bentuk perkalian antara $4x$ dengan $(2x+3)^4$.
Misalkan,
$u(x) = 4x \to u'(x) = 4$
$v(x) = (2x+3)^4$, kita akan menggunakan aturan rantai untuk tahu nilai $v'(x)$
Pada $v(x) = (2x+3)^4$, anggap …
$w=2x+3 \to \frac{dw}{dx}=2$
$v=w^4 \to \frac{dv}{dw}=4w^{4-1} =4w^3$
$\begin{aligned}v'(x) &= \frac{dv}{dw} \times \frac{dw}{dx} \\ &= 4w^3 \times 2 \\ &=8x^3 \textcolor{blue}{\to w=2x+3} \\ &= 8(2x+3)^3 \end{aligned}$
Kita dapatkan
$u(x) = 4x \to u'(x) = 4$
$v(x) = (2x+3)^4 \to v'(x)=8(2x+3)^3$
Kita hitung kembali
$\begin{aligned}f(x) &= 4x(2x+3)^4 \\ f'(x)&=u'(x).v(x) + u(x).v'(x) \\ &= 4.(2x+3)^4+4x(8(2x+3)^3) \\ &=4(2x+3)^4 +32x(2x+3)^3\end{aligned}$
$\therefore f(x) = 4x(2x+3)^4 \to f'(x)=4(2x+3)^4 +32x(2x+3)^3$
Sip siiip..
Tugas 5
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Pastikan tulisanmu rapi ya..
Kumpul sebelum ujian semester genap tahun ini yah …
TULIS IDENTITAS dengan jelas di sudut kiri atas (Pada Lembar Jawaban & pada Pesan Inbox di Messenger)!
TUGAS 5
Nama :
Kelas :
Tentukanlah turunan pertama pada fungsi berikut ini!
- $f(x)=\frac{2}{x^2}$
- $f(x)=\sqrt{x}$
- $f(x)=\sqrt[3]{2x}$
- $f(x)=x^4+2x^3-x$
- $f(x)=-\frac{1}{2}x^4+3x^3-2x$
- $f(x)=(3x+5)^4$
- $f(x)=(2x^2+7x)^3$
- $f(x)=(3x-2x^2)(5+4x)$
- $f(x)=2x^3(x^2+1)^4$
- $f(x)=(2x+3)^5.(3x-1)^4$
Petunjuk :
Nomor $1$ diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk pangkat negatif.
Nomor $2$ & $3$ diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk pangkat pecahan.