Halo .. Sebelumnya kita sudah membahas beberapa rumus turunan yang melibatkan aturan rantai dan juga turunan pada perkalian fungsi. Jika kamu masih belum yakin dengan pemahamanmu terkait hal tersebut, ada baiknya kamu membaca ulang materinya pada link berikut ini https://bdr.masbied.com/bdr-genap-kelas-xi/2434/xi-7-3-rumus-turunan-fungsi-part-2/
Hari ini kita akan lanjutkan materi pada bagian berikutnya. Yuk, disimak!
9. Turunan Pembagian $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$
Jika $\boxed{f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \to f'(x) = \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2}}$
Bentuk ini berlaku pada fungsi yang melibatkan model pembagian.
Contoh 1 :
Turunan pertama dari $f(x)=\frac{4x^2}{x^3}$ adalah ….
Jawab :
$f(x)=\frac{4x^2}{x^3}$
Misalkan,
$u(x)=4x^2 \to u'(x)=2.4.x^{2-1}=8x$
$v(x)=x^3 \to v'(x)=3.1.x^{3-1}=3x^2$
Lanjut
$f(x)=\frac{4x^2}{x^3}$
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{8x.x^3-4x^2.3x^2}{(x^3)^2} \\ &= \frac{8x^4 -12x^4}{x^6} \\ &= \frac{-4x^4}{x^6} \\ &= -4x^4.x^{-6} \\ &= -4x^{4+(-6)} \\ &=-4x^{-2}\end{aligned}$
$\therefore f(x)=\frac{4x^2}{x^3} \to f'(x) = -4x^{-2}$
Contoh 2 :
Turunan pertama dari $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ adalah ….
Jawab :
$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
Misalkan,
$u(x)=x \to u'(x)=1$
$v(x)=x^2+1 \to v'(x)=2x$
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{1.(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2} \\&= \frac{x^2-2x^2+1}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\end{aligned}$
Contoh 3 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=\frac{5x}{x^2+2}$ adalah ….
Jawab :
$u(x) = 5x \to u'(x) = 5$
$v(x) = x^2+2 \to v'(x) = 2x$
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{5.x^2-(5x)(2x)}{(x^2+2)^2} \\ &= \frac{5x^2+10-10x^2}{(x^2+2)^2} \\ &= \frac{-5x^2+10}{(x^2+2)^2} \end{aligned}$
Contoh 4 :
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=\frac{\sqrt{x^2+2x+1}}{5x+2}$ adalah ….
Jawab :
$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+2x+1}}{5x+2}$
$u(x)=\sqrt{x^2+2x+1}$
$u(x)=(x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}}$
TURUNAN LUAR = $\frac{1}{2}(x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}(x^2+2x+1)^{-\frac{1}{2}}$
TURUNAN DALAM = $2x+2$
$\begin{aligned}u'(x)&=\textcolor{red}{\frac{1}{2}}(x^2+2x+1)^{-\frac{1}{2}}.\textcolor{red}{(2x+2)} \\ &= \frac{x+1}{(x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}}} \end{aligned}$
$v(x)=5x+2$
$v'(x)=5$
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{\frac{x+1}{(x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}}}.5x+2-(x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}}.5}{(5x+2)^2} \\ &= \frac{\frac{5x^2+7x+2-5(x^2+2x+1)}{(x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}}}}{(5x+2)^2} \\ &=\frac{-3x-3}{(x^2+2x+1)^{\frac{1}{2}}(5x+2)^2} \\ &= \frac{-3x-3}{\sqrt{(x^2+2x+1)(5x+2)^2}}\end{aligned}$
10. Turunan ke-n sebuah fungsi
Lantas bagaimana cara menentukan turunan kedua atau ketiga sebuah fungsi?
Caranya sederhana.
Tinggal diturunkan 2x.
Eh, eh …
Bagaimana contohnya?!
$f(x)$ diturunkan, dapat $f'(x)$
$f'(x)$ diturunkan lagi, dapat deh $f”(x)$
Kalau ditanyakan turunan ke-3?
Ya $f”(x)$ diturunkan lagi…
Jadi untuk mengetahui turunan ke-$n$ dari sebuah fungsi, maka kita turunkan fungsi awalnya sebanyak $n$ kali.
Simbolnya kayak gini gaes..
$f'(x)$ adalah Turunan Pertama dari $f(x)$
$f”(x)$ adalah Turunan Kedua dari $f(x)$
$f”'(x)$ adalah Turunan Ketiga dari $f(x)$
Untuk turunan ke-4, simbolnya menjadi $f^{(4)}(x)$
Turunan ke-$n$, simbolnya menjadi $f^{(n)(x)$
Contoh 5 :
Turunan kedua dari fungsi $f(x)=8x^3$ adalah ….
Jawab :
$f(x)=8x^3$
$f'(x) = 3.8.x^{3-1} = 24x^2$
$f”(x) = 2.24.x^{2-1} = 48x$
Gitu …
Contoh 6 :
Turunan ketiga dari $f(x)=4x^5$ adalah ….
Jawab :
$f(x)=4x^5$
$f'(x)=5.4.x^{5-1}=20x^4$
$f”(x)=4.20.x^{4-1}=80x^3$
$f”'(x)=3.80.x^{3-1}=240x^2$
Aman kan …
C. Selang Kemonotonan Fungsi
Untuk bagian ini, silakan amati simpulan pada gambar berikut. Setelahnya kita akan melihat contoh.
Kesimpulan berdasarkan gambar :
- Fungsi dikatakan naik saat $f'(x) >0$
- Fungsi dikatakan turun saat $f'(x) <0$
- Titik stasioner diperoleh saat $f'(x) = 0 \to f(x)$ bukan fungsi naik atau turun
- Fungsi cekung ke atas saat $f”(x) >0$
- Fungsi cekung ke bawah saat $f”(x) <0$
- Titik belok diperoleh saat $f”(x) = 0$
- Titik balik maksimum saat $f'(x)=0; f”(x)<0$
- Titik balik minimum saat $f'(x)=0; f”(x)>0$
Contoh 7 :
Diketahui fungsi $f(x)=2x^3+3x^2$. Tentukanlah :
a. Titik stasioner fungsinya
b. Interval nilai $x$ saat fungsi naik
c. Interval nilai $x$ saat fungsi turun
Jawab :
$f(x)=2x^3+3x^2 \to f'(x)=6x^2+6x $
a. Titik stasioner fungsi, syaratnya $f'(x)=0$.
$f(x)=2x^3+3x^2 \to f'(x)=6x^2+6x $
Sehingga bisa ditulis
$\begin{aligned}f'(x)=0 \to 6x^2+6x &=0 \\ 6x(x+1) &=0 \\ 6x=0 &\lor x+1=0 \\ x=0 &\lor x=-1 \end{aligned}$
Jadi, $x=0$ atau $x=-1$
Karena yang diminta adalah nilai stasioner, yakni terdiri atas absis ($x$) dan ($y$), maka setelah menemukan nilai $x$ kita selanjutnya akan menentukan nilai $y$.
Untuk menentukan nilai $y$, kita subtitusikan $x=0$ dan $x=-1$ ke fungsi awalnya.
$\begin{aligned}f(x)&=2x^3+3x^2 \\ f(\textcolor{red}{0})&=2.0^3+3.0^2 =\textcolor{red}{0} \\ f(\textcolor{blue}{-1})&=2.(-1)^3+3.(-1)^2=2.(-1)+3.1=(-2)+3=\textcolor{blue}{1}\end{aligned}$
Berarti, titik stasionernya adalah $\textcolor{red}{(0,0)}$ dan $\textcolor{blue}{(-1,1)}$.
b. Interval nilai $x$ saat fungsi naik, yakni saat $f'(x)>0$
$f(x)=2x^3+3x^2 \to f'(x)=6x^2+6x $
Sehingga bisa ditulis
$\begin{aligned}f'(x)>0 \to 6x^2+6x &>0 \\ 6x(x+1)&>0 \end{aligned}$
- Pembuat Nol
$\begin{aligned}6x(x+1)&=0 \\ 6x=0 &\lor x+1=0 \\ x=0 &\lor x=-1\end{aligned}$
- Letakkan $x=0$ dan $x=-1$ dalam garis bilangan
Kita akan menguji nilai $x$ pada 3 rentang, yaitu :
1. Di sebelah kiri $-1$, misal kita ambil $-2$. Kenapa? Karena $-2$ berada di sebelah kiri $-1$.
2. Antara $-1$ dan $0$, misal kita ambil $-0,5$.
3. Di sebelah kanan $0$, misal kita uji $1$.
Bilangan ini akan kita subtitusikan ke dalam turunan pertama $f'(x)=6x^2+6x$ untuk mengetahui mana daerah yang POSITIF ($>0$) dan mana daerah yang NEGATIF ($<0$). Daerah itulah yang akan kita jadikan sebagai hasil.
- Kita uji yang gampang dulu angka $1$. Rentang sebelah kanan $0$
$f'(x)=6x^2+6x$
$f'(1)=6.1^2+6.1=6+6=12$
Ternyata hasilnya $12$ dan ini adalah BILANGAN POSITIF.
Maka rentang di sebelah kanan angka $0$, diberi tanda positif.
Kenapa di sebelah kanan $0$? Karena angka $1$ terletak di sebelah kanan angka $0$ toh …
- Lakukan hal yang sama pada rentang sebelah kiri $-1$ dan rentang antara $-1$ sampai $0$
Sebelah kiri $(-1)$, kita ambil $-2$
$f'(x)=6x^2+6x$
$f'(-2)=6.(-2)^2+6.(-2)=6.4-12=24-12=12$
Hasilnya juga POSITIF.
Berarti rentang di sebelah kiri $-1$ diberi tanda positif.
Antara $-1$ dan $0$, kita ambil $-0,5$
$f'(x)=6x^2+6x$
$f'(-0,5)=6.(-0,5)^2+6.(-0,5)=6.(0,25)-3=1,5-3=-1,5$
Hasilnya ternyata NEGATIF.
Berarti rentang antara $-1$ dan $0$ diberi tanda negatif.
Digambarkan seperti ini…
Note : Kecenderungannya adalah tanda itu saling mengapit. Kalau rentang paling kanan positif, maka negatif di tengah-tengah. Kalau ruas kanan negatif, maka positif di tengah-tengah. Jadi nanti-nanti, tidak perlu lakukan pengujian pada 3 rentang. Cukup salah satunya saja. 🙂
- Menentukan interval naik dengan melihat hasil garis bilangan
Nah, karena tujuan kita adalah menemukan nilai $f'(x)>0$ atau POSITIF, maka fungsi naik saat nilai $x$ berada pada daerah yang bertanda positif.
Berdasarkan garis bilangan, daerah yang bertanda positif adalah saat $x<-1$ dan $x>0$.
So,
Fungsi $f(x)$ naik pada interval $x<-1$ atau $x>0$
c. Interval nilai $x$ saat fungsi turun, yakni saat $f'(x)<0$
$f(x)=2x^3+3^2 \to f'(x)=6x^2+6x $
$\begin{aligned}f'(x)<0 \to 6x^2+6x&<0\\ 6x(x+1)&<0 \end{aligned}$
Berdasarkan garis bilangan sebelumnya, kita tinggal lihat daerah saat nilai $x$ bertanda negatif.
Nilai $x$ negatif terletak antara $-1$ dan $0$
So,
Fungsi $f(x)$ turun pada interval $-1<x<0$
Contoh 8 :
Fungsi $f(x)=2x^3-3x^2-12x+10$ turun pada interval ….
Jawab :
$f(x)=2x^3-3x^2-12x+10 \to f'(x)=3.2.x^{3-1}-2.3.x^{2-1}-12+0=6x^2-6x-12$
Fungsi turun saat $f'(x)<0$
$f'(x)=6x^2-6x-12$
$\begin{aligned}f'(x)<0 \to 6x^2-6x-12&<0 \\ 6(x^2-x-2)&<0 \\6(x+1)(x-2)&<0 \end{aligned}$
- Titik Pembuat Nol
$\begin{aligned}6(x+1)(x-2)&=0 \\ x+1=0 &\lor x-2=0 \\ x=-1 &\lor x=2 \end{aligned}$
- Letakkan pada garis bilangan
- Uji masing-masing interval pada garis bilangan
– Rentang sebelah kiri $-1$ kita pilih $x=-2$
$\begin{aligned}x<-1 \to \textcolor{red}{x=-2} \to 6x^2-6x-12 &= 6.(-2)^2-6(-2)-12 \\ &=6.4+12-12\\&=24\end{aligned}$
Hasilnya $24$, POSITIF
– Rentang antara $-1$ dan $2$, kita pilih $x=0$
$\begin{aligned}-1<x<2 \to \textcolor{red}{x=0} \to 6x^2-6x-12 &= 6.(0)^2-6(0)-12 \\ &=6.0-0-12\\&=-12\end{aligned}$
Hasilnya $-12$, NEGATIF
– Rentang sebelah kanan $2$, kita pilih $x=3$
$\begin{aligned}x>2 \to \textcolor{red}{x=3} \to 6x^2-6x-12 &= 6.(3)^2-6(3)-12 \\ &=6.9-18-12 \\&=54-30\\&=24\end{aligned}$
Hasilnya $24$, POSITIF
- Masukkan hasil ke garis bilangan
- Menentukan interval saat $x$ turun
Berdasarkan syarat $f'(x)<0$ dan gambar di atas, maka fungsi turun saat $x$ terletak antara $-1$ dan $2$.
So, ditulis dengan simbol menjadi …
Fungsi $f(x)$ turun pada interval $-1<x<2$
Contoh 9 :
Nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x)=3x^3-6x^2$ pada interval $-1\leq x \leq 2$ adalah ….
Jawab :
Terdapat 3 tahap (seperti gambar 6) untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu:
- Menentukan absis atau $(x)$ titik stasioner dan ujung interval fungsinya
- Substitusikan absis ke fungsi $f(x)$
- Tentukan apakah maksimum atau minimum, dengan syarat kalau maksimum $\to f(x)$ terbesar, sedangkan minimum dengan $\to f(x)$ terkecil.
Kita mulai …
$\begin{aligned}f(x)=3x^3-6x^2 \to f'(x)&=3.3.x^{3-1}-2.6.x^{2-1}\\&=9x^2-12x\end{aligned}$
- Menentukan ujung interval
Berdasarkan soal, interval $-1\leq x \leq 2$
Terlihat bahwa ujung interval adalah $\textcolor{red}{x=-1}$ dan $\textcolor{red}{x=2}$
- Menentukan absis titik stasioner, dengan syarat $f'(x)=0$
$\begin{aligned}f'(x)&=0 \\ 9x^2-12x &= 0 \\ 3x(3x-4) &=0 \\ 3x=0 &\lor 3x-4=0 \\ x=0 &\lor 3x=4 \\ x=0 &\lor x=\frac{4}{3} \end{aligned}$
Nilai absis yaitu $\textcolor{red}{x=0}$ dan $\textcolor{red}{x=\frac{4}{3}}$
- Subtitusi nilai ujung interval $\textcolor{red}{x=-1}$ dan $\textcolor{red}{x=2}$, serta nilai absis $\textcolor{red}{x=0}$ dan $\textcolor{red}{x=\frac{4}{3}}$, ke fungsi awal $f(x)=3x^3-6x^2$
$f(x)=3x^3-6x^2$
$\begin{aligned}x=-1 \to f(-1)&=3.(-1)^3-6.(-1)^2\\&=3.(-1)-6.1\\&=-3-6\\&=\textcolor{blue}{-9} \end{aligned}$
$\begin{aligned}x=2 \to f(2)&=3.2^3-6.2^2\\&=3.8-6.4\\&=24-24\\&=\textcolor{blue}{0} \end{aligned}$
$\begin{aligned}x=0 \to f(0)&=3.0^3-6.0^2\\&=3.0-6.0\\&=\textcolor{blue}{0}\end{aligned}$
$\begin{aligned}x=\frac{4}{3} \to f(\frac{4}{3})&=3.(\frac{4}{3})^3-6.(\frac{4}{3})^2\\&=\textcolor{blue}{-\frac{32}{9}}\end{aligned}$
- Lihat nilai tertinggi dan terendah
Terdapat 3 hasil, yaitu $\textcolor{blue}{-9, 0, -\frac{32}{9}}$
Nilai terbesar adalah $0$, karena yang lain negatif.
Nilai terkecil adalah $-9$.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa …
Nilai maksimum fungsi $f(x)$ adalah $0$.
Nilai minimum fungsi $f(x)$ adalah $-9$.
Contoh 10 :
Nilai maksimum dari fungsi $f(x)=10+3x^2-x^3$ pada interval $-2 \leq x \leq 2$ adalah ….
Jawab :
$\begin{aligned}f(x)=10+3x^2-x^3 \to f'(x)&=0+2.3.x^{2-1}-3.x^{3-1}\\&=6x-3x^2\end{aligned}$
- Menentukan ujung interval
Berdasarkan soal, interval $-2 \leq x \leq 2$
Terlihat bahwa ujung interval adalah $\textcolor{red}{x=-2}$ dan $\textcolor{red}{x=2}$
- Menentukan absis titik stasioner, dengan syarat $f'(x)=0$
$\begin{aligned}f'(x)&=0 \\ 6x-3x^2 &= 0 \\ 3x(2-x) &=0 \\ 6x=0 &\lor 2-x=0 \\ x=0 &\lor -x=-2 \\ x=0 &\lor x=2 \end{aligned}$
Nilai absis yaitu $\textcolor{red}{x=0}$ dan $\textcolor{red}{x=2}$
- Subtitusi nilai ujung interval $\textcolor{red}{x=-2}$ dan $\textcolor{red}{x=2}$, serta nilai absis $\textcolor{red}{x=0}$ dan $\textcolor{red}{x=2}$, ke fungsi awal $f(x)=10+3x^2-x^3$
$f(x)=10+3x^2-x^3$
$\begin{aligned}x=-2 \to f(-2)&=10+3(-2)^2-(-2)^3\\&=10+3.4-(-8)\\&=10+12+8\\&=\textcolor{blue}{30} \end{aligned}$
$\begin{aligned}x=2 \to f(2)&=10+3(2)^2-(2)^3\\&=10+3.4-8\\&=10+12-8\\&=\textcolor{blue}{14} \end{aligned}$
$\begin{aligned}x=0 \to f(0)&=10+3(0)^2-(0)^3\\&=10+0-0\\&=\textcolor{blue}{10}\end{aligned}$
- Lihat nilai tertinggi dan terendah
Terdapat 3 hasil, yaitu $\textcolor{blue}{30, 14, 10}$
Nilai terbesar adalah $30$
Sehingga dapat disimpulkan bahwa …
Nilai maksimum fungsi $f(x)$ adalah $30$.
Siiplah.
Semoga bisa dipahami yah …
🙂