Ini adalah bagian terakhir materi turunan. Jika sebelumnya kita sudah membahas tentang aturan turunan pada pembagian dan kemonotonan fungsi, hari ini kita akan lanjut bagian terakhir dari bab ini. Artinya, bentar lagi ulangan harian ya gaes. Be prepare … 🙂
Bagi yang belum akses materi kemarin, silakan klik di link ini yah https://bdr.masbied.com/bdr-genap-kelas-xi/2523/xi-7-4-turunan-bentuk-pembagian/
D. Aplikasi Turunan Fungsi
Ada banyak aplikasi turunan fungsi, tapi kita hanya akan bahas 3 saja, yakni :
- Menentukan persamaan garis singgung pada fungsi
- Menentukan persamaan garis normal
- Aplikasi turunan pada soal cerita
1. Persamaan Garis Singgung
Silakan lihat kesimpulan berikut ini …
Kamu pasti pernah mempelajari cara menentukan persamaan garis singgung sebuah fungsi pada bab di kelas sebelumnya. Cara itu bisa dilakukan, dengan langkah-langkah yang sedikit lebih panjang. Nah, menggunakan aturan fungsi merupakan sebuah alternatif untuk menentukan garis singgung tersebut ya. So, ini adalah aplikasi pertama pemanfaatan turunan fungsi.
Jadi, untuk menentukan persamaan garis singgung pada sebuah fungsi dengan menggunakan konsep turunan ada 3 langkah yang harus dilakukan. Cara ini tidak hanya bisa dilakukan pada fungsi kuadrat, tapi juga pada fungsi berpangkat 3, 4, dan seterusnya.
Langkah-langkah untuk menentukan persamaan garis singgung fungsi yaitu :
- Menentukan titik singgung fungsinya, yaitu titik $(x_1, y_1)$
- Menentukan gradien garis singgung kurva $f(x)$ di titik $(x_1, y_1)$ yaitu nilai $f'(x)$ saat $x=x_1$ atau bisa ditulis $m=f'(x_1)$
- Menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$
Kita langsung masuk contoh yah …
Contoh 1 :
Persamaan garis singgung fungsi $f(x)=x^2$ di titik $(1, 1)$ adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$f(x)=x^2$
Titik $(1, 1)$
Kita lakukan 3 tahap tadi :
- Menentukan titik singgung fungsinya, yaitu di titik $(x_1, y_1)$
$(x_1, y_1) = (1, 1) \to \textcolor{red}{x_1 = 1}; y_1=1$
- Menentukan gradien garis singgung kurva $f(x)=x^2$ di titik $(x_1, y_1)$ dengan menggunakan rumus $m=f'(x_1)$
Kita akan menemukan gradien dengan menentukan terlebih dahulu turunan dari fungsinya
$f(x)=x^2 \to f'(x)=2x$
Karena $m=f'(\textcolor{red}{x_1}), \textcolor{red}{x_1 = 1}$ dan
$\begin{aligned}f'(x)&=2x \\ \Downarrow \\ m=f'(\textcolor{red}{1}) &= 2(1) = \textcolor{blue}{2} \end{aligned}$
Kita dapatkan nilai gradiennya yaitu $m=2$
- Menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$
Kita sudah menemukan gradiennya $(m)$, maka kita dapat menentukan persamaan garis singgungnya dengan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$.
Ingat,
$m = 2$
$x_1=1$
$y_1=1$
Ditulis
$\begin{aligned}y-y_1&=m(x-x_1) \\ y-1&=2(x-1) \\ y-1&=2x-2 \\ y&=2x-2+1 \\ y&=2x-1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung fungsi $f(x)=x^2$ di titik $(1, 1)$ adalah $y=2x-1$
Contoh 2 :
Persamaan garis singgung fungsi $f(x)=x^3+2x^2+1$ di titik yang absisnya $0$ adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$f(x)=x^3+2x^2+1$
Absis Titik $0 \to x=0$
Kita lakukan 3 tahap tadi :
- Menentukan titik singgung fungsinya, yaitu di titik $(x_1, y_1)$
Karena pada soal cuma ada absis (atau $x$), maka kita cari dulu nilai ordinat (atau $y$). Caranya adalah dengan mensubstitusikan nilai absis $x=0$ ke fungsinya.
$\begin{aligned}x=0 \to f(x)&= x^3+2x^2+1 \\ f(x)&=0^3+2.0^2+1 \\ f(x)&=0+0+1 \\ f(x)&=1 \\ y&=1 \end{aligned}$
Ditemukan titik $(x_1, y_1) = (0, 1) \to \textcolor{red}{x_1=0}, y_1=1$
Menentukan gradien garis singgung kurva $f(x)=x^3+2x^2+1$ di titik $(x_1, y_1)$ dengan menggunakan rumus $m=f'(x_1)$
Kita tentukan dulu turunan dari fungsinya
$\begin{aligned}f(x)=x^3+2x^2+1 \to f'(x)&=3.x^{3-1}+2.2.x^{2-1}+0 \\ &=3x^2-4x \end{aligned}$
Karena $m=f'(x_1), \textcolor{red}{x_1 = 0}$, dan
$\begin{aligned}f'(x)&=3x^2-4x \\ \Downarrow \\ m=f'(\textcolor{red}{0}) &= 3.0^2-4.0 = \textcolor{blue}{0}\end{aligned}$
Kita dapatkan nilai gradiennya yaitu $m=0$
- Menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan rumus $y-y_1=m(x-x_1)$
Kita sudah menemukan gradiennya $(m)$, maka kita dapat menentukan persamaan garis singgungnya.
Ingat,
$m = 0$
$x_1=0$
$y_1=1$
Ditulis
$\begin{aligned}y-y_1&=m(x-x_1) \\ y-1&=0(x-0) \\ y-1&=0 \\ y&=1 \end{aligned}$
Jadi, persamaan garis singgung fungsi $f(x)=x^3+2x^2+1$ pada absis $0$ adalah $y=1$
2. Persamaan Garis Normal pada Suatu Titik
Garis normal adalah suatu garis yang tegak lurus dengan garis singgung fungsinya pada titik tersebut.
Jadi untuk menemukan garis normal, kita harus menemukan terlebih dahulu gradien persamaan garis singgung fungsinya.
Kalian pasti masih ingat, bahwa hasil kali gradien dua buah garis yang saling tegak lurus adalah $-1$.
Andai kita misalkan $m_{gn}$ adalah gradien garis normal dan $m_{gs}$ adalah gradien garis singgung, maka $m_{gs} \times m_{gn} =-1$. Andai nilai gradien persamaan garis singgungnya sudah kita temukan dengan menggunakan turunan, maka menemukan nilai gradien garis normalnya akan lebih mudah.
Nah, langkah-langkah menentukan persamaan garis normalnya adalah :
- Cari gradien garis normal $m_{gn}$ dengan rumus $m_{gs} \times m_{gn} =-1$
- Cari persamaan garis normal dengan rumus $y-y_1=m_{gn}(x-x_1)$
Contoh 3 :
Persamaan garis normal $f(x)=x^2+2x+1$ di titik $(1, 4)$ adalah ….
Jawab :
Kita lakukan langkah-langkah di atas..
Diketahui :
$f(x)=x^2+2x+1$
Titik $(1, 4) \to x_1=1, y_1=4$
- Cari gradien garis normal $m_{gn}$ dengan rumus $m_{gs} \times m_{gn} =-1$
Kita gunakan turunan untuk menemukan gradien garis singgungnya.
$\begin{aligned}f(x)&=x^2+2x+1 \\ f'(x)&=2x+2 \\ m_{gs}=f'(1)&=2(1)+2 \\ &=2+2 \\ &=4 \end{aligned}$
Gradien garis singgung $m_{gs}=4$
Karena garis singgung dan garis normal tegak lurus, maka hasil kali gradien garis singgung dengan garis normal hasilnya $-1$
$\begin{aligned}m_{gs} \times m_{gn} &= -1 \\ 4 \times m_{gn} &= -1 \\ m_{gn} &= -\frac{1}{4}\end{aligned}$
Ketemu gradien garis normal $m_{gn} =-\frac{1}{4}$
- Cari persamaan garis normal dengan rumus $y-y_1=m_{gn}(x-x_1)$
Kembali lagi,
$x_1=1, y_1=4$
$m_{gn}=-\frac{1}{4}$
Subtitusi itu ke dalam rumus
$\begin{aligned}y-y_1&=m_{gn}(x-x_1) \\ y-4&=-\frac{1}{4}(x-1) \to \textcolor{red}{\times 4}\\4y-16 &=-(x-1) \\ 4y-16&=-x+1 \\ 4y &=x+1+16 \\ 4y &=x+17\end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normal pada fungsi $f(x)=x^2+2x+1$ di titik $(1, 4)$ adalah $4y=x+17$
Contoh 4 :
Persamaan garis normal pada fungsi $f(x)=x^3+2x^2$ di titik $(1, 3)$ adalah ….
Jawab :
Diketahui :
$f(x)=x^3+2x^2$
Titik $(1, 3) \to x_1=1, y_1=3$
- Cari gradien garis normal $m_{gn}$ dengan rumus $m_{gs} \times m_{gn} =-1$
$\begin{aligned}f(x)&=x^3+2x^2 \\ f'(x)&=3x^2+4x \\ m_{gs}=f'(1)&=3(1)^2+4(1) \\ &=3+4 \\ &=7 \end{aligned}$
Gradien garis singgung $m_{gs}=4$
$\begin{aligned}m_{gs} \times m_{gn} &= -1 \\ 7 \times m_{gn} &= -1 \\ m_{gn} &= -\frac{1}{7}\end{aligned}$
Gradien garis normal $m_{gn} = -\frac{1}{7}$
- Cari persamaan garis normal dengan rumus $y-y_1=m_{gn}(x-x_1)$
Ingat
$x_1=1, y_1=3$
$m_{gn}=-\frac{1}{4}$
Disubtitusi ke dalam rumus menjadi
$\begin{aligned}y-y_1&=m_{gn}(x-x_1) \\ y-3&=-\frac{1}{7}(x-1) \to \textcolor{red}{\times 7}\\7y-21 &=-(x-1) \\ 7y-21&=-x+1 \\ 7y &=x+1+21 \\ 7y &=x+22\end{aligned}$
Jadi, persamaan garis normal pada fungsi $f(x)=x^3+2x^2$ di titik $(1, 3)$ adalah $7y=x+22$
3. Aplikasi Turunan pada Soal Cerita
Pada bagian soal cerita ini, terdapat 2 hal penting yang harus kamu pahami yakni bagaimana menentukan nilai minimum dan nilai maksimum. Materi ini ada pada pertemuan sebelumnya yah. Tapi intinya ada di bawah ini.
- Titik Balik Minimum, yakni pada soal yang mempertanyakan nilai minimum fungsi
Syaratnya adalah :
- Titik stasioner $(f'(x)=0)$
- Cekung ke atas $(f”(x)>0)$
- Titik Balik Maksimum, yakni soal yang mempertanyakan tentang nilai maksimum fungsi
Syaratnya adalah :
- Titik stasioner $(f'(x)=0)$
- Cekung ke atas $(f”(x)<0)$
Kita mulai contoh soal ceritanya ya …
Contoh 5 :
Pembangunan proyek perumahan Ramai Permai direncanakan selesai dalam waktu $x$ hari dengan biaya $(2x-300+\frac{1.500.000}{x})$ ribu rupiah per harinya. Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut agar biayanya minimum adalah …. hari.
Jawab :
Di soal ini, yang diminta adalah BIAYA MINIMUM, berdasarkan kalimat pada soal “Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut agar biayanya minimum“, berarti kita harus menemukan terlebih dahulu fungsi yang mewakili biaya pembangunan proyeknya.
Kita misalkan :
- $f(x)$ adalah lama hari pengerjaan
Kita catat bagian pentingnya, yaitu :
- $x$ adalah lama hari pengerjaan
- $(2x-300+\frac{1.500.000}{x})$ adalah biaya proyek per hari
- Total Biaya Pembangunan = Biaya Proyek (per hari) x Lama Hari Pengerjaan
- Sehingga, fungsinya menjadi $\begin{aligned}f(x)&=(2x-300+\frac{1.500.000}{x}) \times x \\ f(x)&=2x^2-300x+1.500.000 \end{aligned}$
So, total biaya pembangunan proyek adalah :
$f(x)=2x^2-300x+1.500.000$
$f'(x)=4x-300$
$f”(x)=4$
Karena yang diminta pada soal adalah “Waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek tersebut agar biayanya minimum“, sebenarnya yang ditanyakan adalah BERAPA SIH NILAI $x$ AGAR NILAI $f(x)$ MENJADI MINIMUM?
Kalau begitu kita tinggal mencari TITIK BALIK MINIMUM. Ingat syaratnya …
Syarat Titik Balik Minimum adalah :
- Titik stasioner $(f'(x)=0)$
- Cekung ke atas $(f”(x)>0)$
- Menentukan titik stasioner, yakni $f'(x)=0$
Karena $f'(x)=4x-300$ dan $f'(x)=0$, maka
$\begin{aligned}f'(x)&=0 \\ 4x-300&=0 \\ 4x &=300 \\ x&=\frac{300}{4} \\ x&=75 \end{aligned}$
- Kurva Cekung ke atas $(f”(x)>0)$
$f'(x)=4x-300 \to f”(x)=4>0$
Karena $f”(x)=4>0$ disimpulkan bahwa $x=75$ adalah absis titik balik minimum.
Itu artinya, adalah benar waktu minimum yang dibutuhkan adalah saat $x=75$
Dengan Total Biaya Pengerjaan Proyek : $f(x)=2x^2-300x+1.500.000$ setiap hari, agar biaya proyek minimum maka proyeknya harus dikerjakan dalam $75$ hari.
Contoh 6 :
Andi memiliki selembar karton dengan ukuran $48$ cm $\times 48$ cm. Dari karton tersebut akan dibuat kotak tanpa tutup dengan tinggi $x$ cm dengan cara memotong persegi di setiap ujung-ujung kartonnya. Agar volume dari kotak tersebut maksimum, maka tinggi kotak adalah ….
Jawab :
Kita gambarkan kondisi karton sebagai berikut ini …
Tujuan soal ini adalah agar Volumenya Maksimum, berdasarkan kalimat pada soal “Agar volume dari kotak tersebut maksimum“, maka kita akan menggunakan rumus volume.
Jika jaring-jaring diamati, maka akan kita dapatkan ukuran berikut ini …
- Panjang balok $p(x)=48-2x$
- Lebar balok $l(x)=18-2x$
- Tinggi balok $t(x)=x$
- Volume balok = Panjang x Lebar x Tinggi
$\begin{aligned}V(x)&=p(x) \times l(x) \times t(x) \\ V(x)&=(48-2x).(18-2x).x \\ &=(864-96x-36x+4x^2).x \\ &=(864-132x+4x^2).x \\ &=864x-132x^2+4x^3 \\ &=4x^3-132x^2+864x \end{aligned}$ - Jadi, $V(x)=4x^3-132x^2+864x$
Karena pada soal yang dibutuhkan adalah volume maksimum, berarti yang perlu kita cari adalah nilai absis titik maksimum, dengan syarat :
Syarat Titik Balik Maksimum
- Titik stasioner $(V'(x)=0)$
- Cekung ke atas $(V”(x)<0)$
Yuk dimulai …
$V(x)=4x^3-132x^2+864x$
$V'(x)=12x^2-264x+864$
$V”(x)=24x-264$
- Menentukan titik stasioner, dengan $V'(x)=0$
Karena $V'(x)=12x^2-132x+864$ dan syaratnya adalah $V'(x)=0$, maka
$\begin{aligned}V'(x)&=0\\ V'(x)&=12x^2-264x+864 \\ 12x^2-264x+864&=0 \to \textcolor{blue}{\div 12}\\ x^2-22x+72&=0 \\ (x-4)(x-18)&=0 \\ x-4=0 &\lor x-18=0 \\ x_1=4 &\lor x_2=18 \end{aligned}$
Karena ada 2 absis, yakni $x_1=4$ dan $x_2=18$, maka kita akan melakukan pengecekan pada absis yang manakah kurvanya cekung ke bawah. Pengecekan dilakukan dengan melakukan subtitusi nilai $x$ pada $V”(x)$
- Menentukan Kurva Cekung ke Bawah dengan syarat $V”(x)<0$
Karena $V”(x)=24x-264$ dan $V”(x)<0$, maka kita lakukan pengecekan
$\begin{aligned}x_1=4\to V”(x)&=24x-264 \\ V”(4)&=24(4)-264 \\ &=96-264 \\ &=-186 < 0 \to Cekung ke Bawah \end{aligned}$
$\begin{aligned}x_2=18\to V”(x)&=24x-264 \\ V”(8)&=24(18)-264 \\ &=432-264 \\ &=164 > 0 \to Cekung ke Atas \end{aligned}$
Karena yang memenuhi cekung ke bawah adalah nilai $x=4$, maka tinggi kotaknya seharusnya adalah $4$ cm.
Sip siipp..
Sampe situ sajalah …
🙂
Tugas 6
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Pastikan tulisanmu rapi ya..
Kumpul sebelum ujian semester genap tahun ini yah …
TULIS IDENTITAS dengan jelas di sudut kiri atas (Pada Lembar Jawaban & pada Pesan Inbox di Messenger)!
TUGAS 6
Nama :
Kelas :
- $y=\frac{a^2}{3b} \to y’=\cdots$
- $f(x)=\frac{4x+1}{2x-1}; x \neq \frac{1}{2} \to f'(x)=\cdots$
- $f(x)=\frac{x^2+4}{2x^2+1} \to f'(x)=\cdots$
- $f(x)=\frac{x^2-x}{z^3} \to f'(x)=\cdots$
- $f(x)=(2x-1)^3 \to f”(x)=\cdots$
- Diketahui $f(x)=2x^3+3x^2-36x+5$, tentukanlah :
a. Interval nilai $x$ saat fungsi naik
b. Interval nilai $x$ saat fungsi turun - Tentukan nilai stasioner fungsi $f(x)=x^3-3x$
- Persamaan garis singgung kurva $f(x)=3x^2$ di titik $(1, 3)$ adalah ….
A. $y=6x-3$
B. $y=6x-17$
C. $y=6x-21$
D. $y=18x-15$
E. $y=18x-53$ - Diketahui sebuah proyek pembangunan gedung teater akan diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek perharinya dirumuskan dalam $B(x)=3x+\frac{1.200}{x}-60$ satuan ribu rupiah. Agar biaya produksi minimum, maka lama waktu yang dibutuhkan adalah ….
A. 10 hari
B. 20 hari
C. 30 hari
D. 40 hari
E. 60 hari - Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah ….
A. 3 m
B. 5 m
C. 6 m
D. 10 m