Halo … Ini adalah bab terakhir matematika wajib di kelas XI ya. Dasar untuk mempelajari integral ini adalah turunan, jadi pastikan kamu sudah memahami materi turunan pada bab sebelumnya.
Pada bab ini, kita akan membahas 4 sub bab tentang integral, yaitu :
A. Pengenalan Integral
B. Integral Tak Tentu
C. Integral Substitusi
D. Aplikasi Integral Tak Tentu
Langsung saja kita mulai ya…
A. Pengenalan Integral
1. Integral sebagai Anti Turunan
Operasi diferensial atau turunan berarti proses menentukan turunan dari sebuah fungsi $f'(x)$ jika fungsi $f(x)$ diketahui. Ini adalah definisi yang sudah kita bahas sebelumnya.
Integral, dikenal sebagai Anti Turunan. Maknanya, Integral adalah kebalikan dari turunan. Dalam bahasa lain, dikatakan bahwa operasi integral merupakan invers dari proses pendiferensialan.
Jika $f(x)$ kita turunkan maka akan menghasilkan $\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$, ini disebut proses turunan (diferensial).
Kebalikannya adalah …
Jika $\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$ kita operasikan untuk menemukan $f(x)$, maka proses ini dinamakan anti turunan atau integral.
Contoh 1 :
Kita misalkan $f(x)=x^3$
Proses untuk mendapatkan $f'(x)$ jika $f(x)$ diketahui disebut sebagai turunan.
Sedangkan proses untuk menemukan $f(x)$ jika $f'(x)$ diketahui disebut sebagai integal (anti turunan)
Turunan : $f(x)=x^3 \to f'(x)=3x^2$
Integral : $f'(x)=3x^2 \to f(x)=x^3$
Integral mengembalikan turunan sebuah fungsi menjadi fungsi asalnya. Hasilnya nanti akan ditambah dengan C (konstanta). Kita bahas berikutnya yah …
Contoh 2 :
Tentukan integral dari $\frac{d}{dx}f(x)=4x^3$ !
A. $f(x)=x^4 + C$
B. $f(x)=12x^4+C$
Hayo, A atau B?
.
.
.
.
.
.
.
Pikir dulu baik-baik …
.
.
.
.
.
.
Jawab :
Jawabannya adalah A. Integral dari $\frac{d}{dx}f(x)=4x^3$ adalah $f(x)=x^4+C$
Kok bisa sih?
Ya bisa, karena jika $x^4$ diturunkan, hasilnya adalah $4x^3$. Jadi saling berkebalikan ya intinya.
Contoh 3 :
Tentukan integral dari $\frac{d}{dx}f(x)=x^2$ !
A. $f(x)=x^3+C$
B. $f(x)=\frac{1}{3}x^3+C$
A atau B?
.
.
.
.
.
Dipikir dulu … Jangan lanjut ..
.
.
.
.
.
Jawaban yang benar adalah B ya. Silakan dicoba turunkan pilihan A atau B, kamu pasti akan dapat jawabannya..
Lanjut …
Lantas kenapa ada tambahan $+C$ pada bentuk hasil integral?
Alasannya bisa kamu perhatikan pada tabel di bawah ini…
Fungsi $f(x)$ di tabel kiri semuanya berbeda, tetapi ketika diturunkan, hasilnya sama $2x$.
Sebaliknya, $2x$ apabila kita integralkan, maka hasilnya bisa $x^2$, bisa $x^2-1$, bisa $x^2+3$, bisa $x^2-4$ dan seterusnya. Nah, konstanta iniliah ($-1, +3, -4, …$) inilah yang disimbolkan dengan $C$, karena kita tidak tahu asal fungsinya yang mana … Karena tidak pasti, maka kita sebut bagian ini sebagai Integral Tak Tentu.
Mulai paham ya …
Contoh 4 :
Hasil integral dari fungsi $f(x)=2x$ adalah ….
A. $x^2$
B. $x^2 + C$
Ayo dipilih, A atau B?
.
.
.
.
.
Kalau jawabanmu A, baca lagi deh, karena yang benar adalah B. 😀
Apa bedanya A dengan B? $+C$ itu lho…
Sip, kita lanjut.
2. Notasi Integral
Notasi integral dari $f(x)$ ditulis dengan $\int f(x)dx$
Dari bentuk sebelumnya $\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$ bisa kita tulis menjadi $\int f'(x)dx$, dibaca “Integral dari $f'(x)$ terhadap $x$” atau dibaca “Integral $f’ dx$”
Contoh 5 :
$\int x^3 dx$ dibaca “Integral dari $x^3$ terhadap $x$” atau “Integral $x^3 dx$”
3. Bentuk Umum Integral
Perhatikan tabel di bawah ini …
Kolom sebelah kiri jika diintegralkan akan menghasilkan kolom di sebelah kanan. Dan sebaliknya, kolom sebelah kanan jika diturunkan maka akan menghasilkan kolom di sebelah kiri.
Sehingga, bisa disimpulkan bentuk umum integral adalah sebagai berikut ini …
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
dengan $n \neq -1$
Contoh 6 :
Tentukan hasil dari $\int xdx$!
Jawab :
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
$\begin{aligned}\int x dx &= \int \textcolor{green}{1}x^\textcolor{red}{1}dx\\&=\frac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{red}{1}+1}x^{\textcolor{red}{1}+1}+C \\&= \frac{1}{2}x^2 +C \end{aligned}$
Jadi, $\int x dx=\frac{1}{2}x^2 +C$
Contoh 7 :
$\int 4x dx=\cdots$
Jawab :
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
$\begin{aligned}\int 4x dx &= \int \textcolor{green}{4}x^\textcolor{red}{1}dx\\&=\frac{\textcolor{green}{4}}{\textcolor{red}{1}+1}x^{\textcolor{red}{1}+1}+C \\&= \frac{4}{2}x^2 +C \\ &=2x^2+C \end{aligned}$
Contoh 8 :
$\int 3x^7dx = \cdots$
Jawab :
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
$\begin{aligned}\int \textcolor{green}{3}x^\textcolor{red}{7}dx&=\frac{\textcolor{green}{3}}{\textcolor{red}{7}+1}x^{\textcolor{red}{7}+1}+C \\&= \frac{3}{8}x^8 +C \end{aligned}$
Contoh 9 :
$\int \frac{1}{2}x^4 dx = \cdots$
Jawab :
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
$\begin{aligned}\int \textcolor{green}{\frac{1}{2}}x^\textcolor{red}{4}dx&=\frac{\textcolor{green}{\frac{1}{2}}}{\textcolor{red}{4}+1}x^{\textcolor{red}{4}+1}+C \\&= \frac{\frac{1}{2}}{5}x^5 +C \\ &=\frac{1}{10}x^5+C \end{aligned}$
Ingat,
$\begin{aligned}\frac{\frac{1}{2}}{5} &= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{1}}\\&=\frac{1}{2} \div \frac{5}{1} \\&= \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} \\&= \frac{1}{10}\end{aligned}$
Contoh 10 :
$\int 3x^{-3}dx=\cdots $
Jawab :
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
$\begin{aligned}\int \textcolor{green}{3}x^\textcolor{red}{-3}dx&=\frac{\textcolor{green}{3}}{\textcolor{red}{(-3)}+1}x^{\textcolor{red}{(-3)}+1}+C \\&= \frac{3}{(-2)}x^{(-2)} +C \\&= -\frac{3}{2}x^{(-2)}\end{aligned}$
Contoh 11 :
$\int \frac{2}{x^3}dx=\cdots$
Jawab :
Karena bentuk ini adalah bentuk pembagian, sedangkan rumus umumnya adalah bentuk perkalian, maka kita ubah $\frac{2}{x^3}$ menjadi bentuk pangkat negatif.
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
$\begin{aligned}\int \frac{2}{x^3}dx &= \int \textcolor{green}{2}x^\textcolor{red}{-3}dx\\&=\frac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{red}{(-3)}+1}x^{\textcolor{red}{(-3)}+1}+C \\&= \frac{2}{(-2)}x^{-2} +C \\&= -x^{-2}+C\end{aligned}$
Kesimpulan
- Integral adalah anti turunan. Jika proses turunan (diferensial) adalah menemukan $f'(x)$ jika $f(x)$ diketahui, maka integral adalah menemukan $f(x)$ jika $f'(x)$ diketahui.
- Bentuk umum integral adalah $\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C$
Latihan …
- $\int 2x^3 dx = \cdots$
- $\int 3x^6 dx = \cdots$
- $\int -3x^2 dx = \cdots$
- $\int -2x^{-4}dx =\cdots$
- $\int \frac{1}{2}x dx =\cdots$
- $\int \frac{5}{x^6} dx=\cdots$
- $\int \frac{3}{2}x^3 dx=\cdots$
- $\int \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}dx=\cdots$
- $\int \sqrt{x} dx= \cdots$
- $\int {\sqrt[4]{x^3}} dx=\cdots$