Sebelumnya kita sudah membahas tentang Sifat Limit, kali ini akan kita lanjutkan dengan cara menyelesaikan limit fungsi aljabar.
C. Menemukan Nilai Limit Fungsi
Pada pembahasan ini kita akan menentukan nilai sebuah limit tanpa menggunakan bantuan tabel, tetapi memanfaatkan sifat-sifat limit.
Plot Twist :
Jika ada sebuah soal limit, langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut :
- Lakukan subtitusi. Jika hasilnya bukan bentuk $\frac{0}{0}$, maka itulah jawabannya. Tapi, jika hasilnya adalah $\frac{0}{0}$ maka lakukan pemfaktoran.
- Lakukan pemfaktoran (Ingat materi pemfaktoran pada persamaan kuadrat)
- Jika soal memuat bentuk akar, selesaikan dengan perkalian akar sekawan.
1. Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dengan Subtitusi
Langkah pertama kita menyelesaikan soal limit adalah dengan melakukan SUBTITUSI.
Tanpa menggunakan tabel kita bisa menghitung nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 1}(2x + 3)$ sebagai berikut …
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 1}(2x + 3) &= \lim_{x \to 1}2x + \lim_{x \to 1}3 \\ &= 2(1) + 3 \\ &= 2 + 3 \\ &= 5 \end{aligned}$
Pada contoh di atas, cara kita menyelesaikan soal limit adalah dengan melakukan substitusi.
Subtitusi berarti mengganti nilai x pada limit dengan nilai yang dituju.
Perhatikan contoh subtitusi berikut ini …
$\odot$ Contoh 1 $\odot$
$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to 3} \left( x^{3} – 2x \right) &= \lim_{x \to 3} x^{3} – \lim_{x \to 3} 2x \\ &= 3^{3} – 2 . \lim_{x \to 3} x \\ &= 27 – 2 . 3 \\ &= 27 – 6 \\ &= 21 \end{aligned}$
$\odot$ Contoh 2 $\odot$
$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x \to -2} \left( x^{2} . x \right) &= \lim_{x \to -2} x^{2} . \lim_{x \to -2} x \\ &= (-2)^{2} . (-2) \\ &= 4 . (-2) \\ &= -8 \end{aligned}$
$\odot$ Contoh 3 $\odot$
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 1} \left[ \frac{x^{2} + 3}{x+1} \right] &= \frac{\displaystyle \lim_{x \to 1} (x^{2} + 3)}{\displaystyle \lim_{x \to 1} (x+1)} \\ &= \frac{\displaystyle \lim_{x \to 1} x^{2} + \lim_{x \to 1} 3}{\displaystyle \lim_{x \to 1} x+ \lim_{x \to 1} 1} \\ &= \frac{ 1^{2} + 3}{ 1+ 1} \\ &= \frac{ 1 + 3}{2} \\ &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \end{aligned}$
$\odot$ Contoh 4 $\odot$
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 2 } (2x^2 + 3)^9 & = \left( \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x^2 + 3 \right)^9 \\ & = \left( \displaystyle \lim_{x \to 2 } 2x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3 \right)^9 \\ & = \left( 2. \displaystyle \lim_{x \to 2 } x^2 + \displaystyle \lim_{x \to 2 } 3 \right)^9 \\ & = \left( 2. 2^2 + 3 \right)^9 \\ & = \left( 8 + 3 \right)^9 \\ & = \left( 11 \right)^9 \end{aligned}$
$\odot$ Contoh 5 $\odot$
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 3 } \sqrt[3]{ x^2 – 1 } & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 – 1 } \\ & = \sqrt[3]{ \displaystyle \lim_{x \to 3 } x^2 – \displaystyle \lim_{x \to 3 } 1 } \\ & = \sqrt[3]{ 3^2 – 1 } \\ & = \sqrt[3]{ 8 } \\ &= 2 \end{aligned}$
Jadi, jika menemukan soal limit, maka langkah pertama yang perlu dilakukan adalah melakukan subtitusi, yakni mengganti nilai x pada fungsi dengan nilai yang dituju pada limit.
2. Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dengan Pemfaktoran
Menyelesaikan limit dengan subtitusi ada kekurangannya. Kenapa? Karena tidak semua fungsi dapat ditemukan nilainya dengan menggunakan subtitusi.
Misalnya, jika soal $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^2-2x}{4x}$ kita selesaikan dengan metode subtitusi maka kita akan mendapatkan nilai berikut …
Ingat! $\lim_{x \to 0} x = 0$ …
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^2-2x}{4x} &= \frac {(\lim_{x \to 0})^2-2 \lim_{x \to 0} x}{4 \lim_{x \to 0} x} \\ &= \frac{(0)^2-2(0)}{4(0)} \\ &= \frac{0-0}{0} \\ &= \frac{0}{0} \end{aligned}$
Masih ingat kan bahwa $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu!
Bentuk $\frac{0}{0}$ adalah bentuk yang harus kita hindari saat menyelesaikan soal limit.
Nah, karena subtitusi memberikan hasil berupa bentuk tak tentu, maka kita melakukan cara lain yaitu dengan pemfaktoran.
$\odot$ Contoh 6 $\odot$
Tentukan nilai $\lim_{x \to 0}\frac{x^2-2x}{4x}$
Langkah pertama : Lakukan Subtitusi.
Jika disubtitusi, hasilnya adalah …
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^2-2x}{4x} &= \frac {(\displaystyle \lim_{x \to 0})^2-2 \lim_{x \to 0} x}{4 \displaystyle \lim_{x \to 0} x} \\ &= \frac{(0)^2-2(0)}{4(0)} \\ &= \frac{0-0}{0} \\ &= \frac{0}{0} \end{aligned}$
Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu), maka kita lakukan pemfaktoran.
Langkah kedua : Lakukan Pemfaktoran
Pemfaktoran kita lakukan dengan mengubah bentuk $x^2 – 2x$ menjadi $x(x – 2)$.
Kok bisa?! Hayo dipikirkan.
.
.
.
Ditulis …
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^2-2x}{4x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\textcolor{red}{x}(x-2)}{4\textcolor{red}{x}} \\ &= \lim_{x \to 0}\frac{(x-2)}{4} \\ &= \frac{(0-2)}{4} \\ &= \frac{-2}{4} \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^2-2x}{4x} = -\frac{1}{2}$
$\odot$ Contoh 7 $\odot$
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{x^2-2x-15}{x+3} = …$
Jawab :
Langkah pertama : Lakukan Subtitusi
Jika disubtitusi (Ganti $x = -3$), maka $\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{x^2-2x-15}{x+3}$ menjadi …
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{x^2-2x-15}{x+3} &= \frac{(-3)^2 – 2(-3) – 15}{(-3)+3} \\ &= \frac{9 + 6 – 15}{0} \\ &= \frac{0}{0} \end{aligned}$
Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu), maka kita lakukan pemfaktoran.
Langkah kedua : Lakukan Pemfaktoran
Kita akan faktorkan pembilang pada bentuk $\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{x^2-2x-15}{x+3}$.
Apakah faktor dari ${x^2-2x-15}$?
a. $(x-5)(x+3)$?
b. $(x+5)(x-3)$? atau
c. $(x-1)(x+15)$?
Hayo dipikirkan lagi …
.
.
.
Faktor dari ${x^2-2x-15}$ adalah $(x-5)(x+3)$.
Untuk menemukan bentuk pemfaktoran ini, temukan bilangan yang jika dikalikan hasilnya adalah $\textcolor{red}{-15}$ dan jika dijumlahkan hasilnya adalah $\textcolor{blue}{-2}$.
Bilangan $\textcolor{red}{-15}$ & $\textcolor{blue}{-2}$ masing-masing adalah konstanta dan koefisen $x$ pada bentuk ${x^2\textcolor{blue}{-2}x\textcolor{red}{-15}}$.
Dua bilangan apakah yang jika dikalikan hasilnya $-15$ dan jika dijumlahkan hasilnya $-2$?
Bilangan itu adalah $-5$ dan $3$.
$-5 \times 3 = -15$
$-5 + 3 = -2$
Kamu tidak akan menemukan bilangan lain selain $-5$ dan $3$.
Materi ini dapat kamu perdalam di materi kelas X tentang persamaan kuadrat. Atau bisa klik >> materi ini.
Karena faktor dari ${x^2-2x-15}$ adalah $(x-5)(x+3)$, maka kita bisa menulis limit pada soal menjadi bentuk berikut ini …
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{x^2-2x-15}{x+3} &= \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{(x-5)\textcolor{red}{(x+3)}}{\textcolor{red}{(x+3)}} \\ &= \lim_{x \to -3}(x-5) \\ &= (-3)-5 \\ &= -8 \end{aligned}$
Jadi, $\displaystyle \lim_{x \to -3}\frac{x^2-2x-15}{x+3} = -8$
$\odot$ Contoh 8 $\odot$
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x+1} = \cdots$
Jawab :
Langkah pertama : Lakukan Subtitusi
Ganti nilai $x$ dengan $1$, menjadi
$\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x+1} &= \frac{(1)^2-1}{1+1} \\ &= \frac{1-1}{2} \\ &= \frac{0}{2} \\ &= 0 \end{aligned}$
Karena hasilnya adalah $0$, maka itulah jawabannya. Kita tidak perlu lanjut ke langkah kedua.
Jadi, $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x+1} = 0$
$\odot$ Contoh 9 $\odot$
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10} = \cdots$
Jawab :
Langkah pertama : Lakukan Subtitusi
Ganti $x$ dengan $5$ menjadi …
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10} &= \frac{(5)^2-6(5)+5}{(5)^2-3(5)-10} \\ &= \frac{25-30+5}{25-15-10} \\& = \frac{0}{0} \end{aligned}$
Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu), maka kita lakukan pemfaktoran.
Langkah kedua : Lakukan Pemfaktoran
Kita akan faktorkan pembilang & penyebut pada $\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10}$
- Faktor dari $x^2-6x+5$
Temukan 2 bilangan, yang jika dikalikan $=5$ dan jika dijumlahkan $=-6$!
.
.
.
$(-1) \times (-5) = 5$
$(-1) + (-5) = -6$
Jadi bilangan itu adalah $-1$ dan $-5$
Sehingga faktor dari $x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)$
- Faktor dari $x^2-3x-10$
Temukan 2 bilangan, yang jika dikalikan $=-10$ dan jika dijumlahkan $=-3$!
.
.
.
$2 \times (-5) = -10$
$2 + (-5) = -3$
Jadi bilangan itu adalah $2$ dan $(-5)$
Sehingga faktor dari $x^2-3x-10 = (x+2)(x-5)$
- Menghitung nilai limit setelah faktor diketahui
Karena,
$x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)$ dan
$x^2-3x-10 = (x+2)(x-5)$
Maka, bentuk $\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10}$ dapat ditulis menjadi
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10} &= \displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{(x-1)\textcolor{red}{(x-5)}}{(x+2)\textcolor{red}{(x-5)}} \\ &= \lim_{x \to 5}\frac{x-1}{x+2} \\ &= \frac{5-1}{5+2} \\ &= \frac{4}{7} \end{aligned}$
Jadi $\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10} = \frac{4}{7}$
Tugas 2
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Pastikan tulisanmu rapi ya..
TULIS IDENTITAS dengan jelas di sudut kiri atas (Pada Lembar Jawaban & pada Pesan Inbox di Messenger)!
TUGAS 2
Nama :
Kelas :
Foto jawabanmu & kirimkan ke inbox FB saya (m.me/muh.zainalabidin) sebelum 31 Maret 2021 ya ..
Tentukan nilai limit berikut ini …
- $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2+1}{x^2-3}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^2-1}{x+1}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{2x^2+4x+4}{3x-2}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{x^2-x}{x}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{x^2-8x+7}{x^2+x-2}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-5x+6}{x^2+2x-8}$
- $\displaystyle \lim_{x \to -2}\frac{x^2+5x+6}{x^2-3x-10}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{x^2-8x+12}{x^2-4}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}$
Selamat belajar …