Hello, kali ini kita akan belajar tentang turunan fungsi.
Materi kita pada bab ini adalah :
A. Definisi Turunan & Notasinya
B. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar
C. Aplikasi Turunan
A. Definisi Turunan & Notasinya
1. Definisi Turunan
Apa tuh turunan fungsi?
Turunan fungsi di suatu titik adalah gradien garis singgung fungsi di titik tersebut.
Gradien garis? Di sebuah titik?
Kok bisa sih, kan kalo gradien minimal harus ada 2 titik?
Ya bisa dong. Tapi gak usah dijelaskan di sini deh, bakalan pusing kalo cuma membaca. Silakan cari di youtube tentang definisi turunan ini yah.
Kegunaan dari turunan yang sering kita ketahui adalah untuk menghitung garis singgung pada suatu kurva atau fungsi dan kecepatan.
Nah, di bagian awal ini kita akan membahas rumus turunan dalam hubungannya dengan limit secara lengkap. Awalnya terlihat sulit, tapi jangan khawatir. Pembahasan ini hanya untuk menunjukkan hubungan antara turunan dan limit serta pemanfaatan rumus secara lengkap, tapi nanti sebenarnya yang kita akan manfaatkan adalah rumus yang sangat sederhana. Oke ya!
2. Notasi Turunan Fungsi
Turunan fungsi dinotasikan dengan $f'(x)$ atau $y \to$ Notasi Newton.
Atau $\frac{d}{dx}(f(x))$ atau $\frac{dy}{dx} \to$ Notasi Leibniz
Rumus dasar turunan fungsi $f(x)$ bisa dituliskan sebagai berikut …
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1 + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$
atau
$\boxed{\textcolor{red}{\frac{d}{dx}(f(x))= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1 + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$
atau
$\boxed{\textcolor{red}{\frac{dy}{dx}= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1 + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$
Eh, karena nilai turunan berhubungan dengan limit, maka dapat kita pastikan bahwa nilai turunan pada suatu titik $C(c, f(c))$ akan ada, jika dan hanya jika nilai $\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1 + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ ADA.
a. Turunan Pertama dari Fungsi $f(x)=C$
Ayo kita terapkan rumus di atas untuk contoh berikut!
Contoh 1 :
Tentukan turunan pertama dari $f(x) = 3$
Jawab :
Fungsi ini adalah fungsi konstan (konstanta = angka) ya. Kalau nanti ada bentuk fungsi konstan seperti ini, maka turunannya adalah 0. Kok bisa? Karena jika $f(x)=3$ digambarkan dalam grafik kartesius, maka garisnya adalah garis horizontal.
Garis horizontal seperti ini gradiennya adalah 0. Karena gradiennya $0$, maka turunan dari $f(x)=3$ adalah $f'(x)=0$
Tapi mari kita buktikan.
$\textcolor{red}{f(x) = 3}$
$f(x + \Delta x) = 3 \to$ Kok Bisa?
Nanti lihat pada contoh berikutnya yah biar terlihat caranya.
Maka
$\begin{aligned}f'(x) &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1 + \Delta x)-\textcolor{red}{f(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3-\textcolor{red}{3}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} 0 \\ &= 0 \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $f(x) = 3$ adalah $f'(x) = 0$
Contoh 2 :
Turunan dari fungsi $f(x) = 888$ adalah ….
a. $f'(x) = 0$
b. $f'(x) = 1$
Jawab :
Sesuai penjelasan di atas, bahwa turunan dari konstanta adalah $0$
$f(x) = C \to f'(x) = 0$
Maka
$f(x) = 888 \to f'(x) = 0$
b. Turunan Pertama dari Fungsi $f(x)=ax$
Ini adalah bentuk fungsi linear.
Turunan dari fungsi linear $f(x) = ax$ adalah $f'(x) = a$. Jadi tinggal koefisien dari variabelnya saja.
Kok bisa? Karena gradien dari garis lurus itu sama saja untuk semua posisi.
Contoh 3 :
Tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x) = 2x$!
Jawab :
$f(x)=2x$ adalah fungsi linear.
Pada fungsi linear, jika $f(x) = ax \to f'(x) = a$
maka seharusnya pada $f(x) = 2x \to f'(x) = 2$.
Untuk melakukan pembuktian dengan rumus limit, terlebih dahulu kita temukan nilai berikut …
$f(x) = 2\textcolor{red}{x}$
Untuk menentukan nilai $f(x + \Delta x)$, maka kita ganti $x$ pada $2\textcolor{red}{x}$ dengan $\textcolor{red}{(x + \Delta x)}$
Begini jadinya …
$f(x) = 2\textcolor{red}{x}$
$f(x + \Delta x) = 2\textcolor{red}{(x+\Delta x)} = 2\textcolor{red}{x}+2 \textcolor{red}{\Delta x}$
Ayo disubtitusi ke rumus limit …
$\begin{aligned}f'(x) &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(2x + 2\Delta x)-2x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\textcolor{red}{2x} + 2\Delta x -\textcolor{red}{2x}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2 \textcolor{blue}{\Delta x}}{\textcolor{blue}{\Delta x}} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}2 \\ &= 2 \end{aligned}$
Nah, terbukti kan bahwa turunan pertama dari $f(x) = 2x$ adalah $f'(x) = 2$
Jadi ingat, bahwa jika nanti terdapat fungsi linear semisal $f(x) = ax$ maka turunannya adalah $f'(x) = a$
c. Turunan Pertama dari Fungsi $f(x)=ax^2$
Turunan dari $f(x) = ax^2$ adalah $f'(x)=2ax$
Ayo kita buktikan dengan rumus turunan.
Contoh 4 :
Tentukan turunan dari fungsi $f(h) = 3x^2$
Jawab :
$f(x) = ax^2 \to f'(x)=2ax$
Jika dilihat, maka turunan dari $h(x)=3x^2$ adalah $\textcolor{red}{h'(x)=2.3x =6x}$
Kita akan buktikan sebagai berikut …
$h(x)=3x^2$
Untuk menentukan $h(x+\Delta x)$ kita ganti nilai $\textcolor{red}{x}$ pada $3\textcolor{red}{x}^2$ dengan $\textcolor{red}{(x + \Delta x)}$, menjadi
$h(x)=3\textcolor{red}{x}^2$
$\begin{aligned}h(x+\Delta x) &= 3\textcolor{red}{(x+\Delta x)}^2 \\ &= 3[x^2+2x \cdot \Delta x + (\Delta x)^2] \\ &= 3x^2+6x \cdot \Delta x + 3(\Delta x)^2 \end{aligned}$
Sehingga, dengan rumus limit kita dapat menghitung turunan dari $h(x)$ sebagai berikut :
$\begin{aligned}h'(x) &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x + \Delta x)-\textcolor{blue}{h(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{3x^2+6x \cdot \Delta x + 3(\Delta x)^2 – \textcolor{blue}{3x^2}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\textcolor{red}{3x^2}+6x \cdot \Delta x + 3(\Delta x)^2 – \textcolor{red}{3x^2}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{6x \cdot \Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\textcolor{red}{\Delta x}(6x+3 \cdot \Delta x)}{\textcolor{red}{\Delta x}} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} (6x+3 \Delta x) \to \textcolor{blue}{\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x=0} \\ &= 6x + 3 \cdot \textcolor{blue}{0} \\ &= 6x + 0 \\ &= 6x \end{aligned}$
Nah, terbukti kan bahwa turunan dari $h(x) = 3x^2$ adalah $\textcolor{red}{h'(x)=2.3x =6x}$..
Jadi, bisa disimpulkan bahwa turunan dari bentuk $f(x)=ax^2$ adalah $f'(x)=2ax$.
d. Turunan Pertama dari Fungsi $f(x)=ax^3$
Turunan pertama dari fungsi $f(x)=ax^3$ adalah $f'(x) = 3ax^2$
Contoh 5 :
Tentukan turunan dari $f(x) = 4x^3$
Jawab :
Turunan dari $f(x) = 4x^3$ adalah $f'(x) = 3 \cdot 4x^2 = 12x^2$
$f(x) = 4\textcolor{red}{x}^3$
$\begin{aligned}f(x+\Delta x) &= 4\textcolor{red}{(x+\Delta x)}^3 \\ &= 4 [x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \Delta x + 3 \cdot x \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3] \\ &= 4x^3 + 12 \cdot x^2 \cdot \Delta x + 12 \cdot x \cdot (\Delta x)^2 + 4(\Delta x)^3\end{aligned}$
Dengan rumus turunan, kita hitung …
$\begin{aligned}f'(x)&=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x)-\textcolor{blue}{f(x)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{4x^3 + 12 \cdot x^2 \cdot \Delta x + 12 \cdot x \cdot (\Delta x)^2 + 4(\Delta x)^3 – \textcolor{blue}{4x^3}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\textcolor{red}{4x^3} + 12 \cdot x^2 \cdot \Delta x + 12 \cdot x \cdot (\Delta x)^2 + 4(\Delta x)^3 – \textcolor{red}{4x^3}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{12 \cdot x^2 \cdot \Delta x + 12 \cdot x \cdot(\Delta x)^2 + 4 (\Delta x)^3}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\textcolor{red}{\Delta x}(12 \cdot x^2 + 12(\Delta x)+4(\Delta x)^2)}{\textcolor{red}{\Delta x}} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}(12 \cdot x^2 + 12(\Delta x)+4(\Delta x)^2) \to \textcolor{blue}{\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x = 0} \\ &= (12 \cdot x^2 + 12(\textcolor{blue}{0})+4(\textcolor{blue}{0})^2)\\ &= 12 \cdot x^2 \\ &=12x^2 \end{aligned}$
Jadi, turunan dari $f(x) = 4x^3$ adalah $f'(x) = 3 \cdot 4x^2 = 12x^2$
Kesimpulan Post ini …
- Turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x) = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_1 + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
- Jika $f(x) = C \to f'(x) = 0$, dengan $C$ adalah konstanta.
- Jika $f(x) = ax \to f'(x) = a$
- Jika $f(x) = ax^2 \to f'(x)=2ax$
- Jika $f(x)=ax^3 \to f'(x) = 3ax^2$
- Berdasarkan kesimpulan nomor 2 s.d 5, bagaimanakah turunan dari $f(x)=ax^n$?
Tugas 4
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Pastikan tulisanmu rapi ya..
Kumpul sebelum ujian semester genap tahun ini yah …
TULIS IDENTITAS dengan jelas di sudut kiri atas (Pada Lembar Jawaban & pada Pesan Inbox di Messenger)!
TUGAS 4
Nama :
Kelas :
- Buktikan bahwa turunan dari $f(x) = 4x$ adalah $f'(x) = 4$
- Buktikan bahwa turunan dari $h(x) = 2x^2$ adalah $h'(x) = 4x$
- Buktikan bahwa turunan dari $g(x) = 2x^3$ adalah $h'(x) = 6x^2$