Sebelumnya kita sudah membahas tentang kisaran nilai peluang, selanjutnya pada pertemuan kali ini kita akan membahas tentang peluang kejadian majemuk.
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
B. Peluang Kejadian Majemuk
Pada peluang kejadian majemuk, kita akan belajar beberapa poin yaitu
1. Peluang Gabungan
– Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas
– Pelaung Kejadian Saling Lepas
2. Peluang Kejadian Bersyarat
3. Peluang Kejadian Saling Bebas
1. Peluang Gabungan
Peluang gabungan berarti peluang dari gabungan dua kejadian atau lebih.
Untuk menghitung peluang gabungan ini kita harus memperhatikan apakah kejadian pembentuknya merupakan kejadian tidak saling lepas atau kejadian saling lepas.
a. Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas
Dua buah kejadian dikatakan tak saling lepas apabila terdapat elemen yang sama antara kejadian yang satu dengan lainnya.
Jadi dua buah himpunan dikatakan tidak saling lepas jika ada irisan antara dua anggota himpunan itu.
Jika dimisalkan dalam diagram venn, maka dapat digambarkan sebagai berikut
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
Sebagai contoh,
Kejadian $A$ merupakan kejadian munculnya mata dadu <3, dan
Kejadian $B$ adalah kejadian munculnya mata dadu bilangan ganjil. Karena ada anggota $A$ yang juga merupakan anggota $B$, yakni $1$ (1 < 3, dan 1 adalah bilangan ganjil) maka kejadian $A$ dan $B$ tak saling lepas.
Lebih lanjut, nilai peluang gabungan dua kejadian tak saling lepas $A$ dan $B$ dapat dihitung dengan rumus
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Peluang gabungan dua kejadian tidak saling lepas merupakan penjumlahan masing-masing peluang kejadian dikurangkan dengan peluang irisan dua kejadian tersebut.
$\odot$ Contoh 1 $\odot$
Dua puluh buah kartu dengan ukuran dan bahan yang identik diberikan nomor 1 sampai dengan 20. Dari kumpulan kartu tersebut, diambil sebuah kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya kartu dengan bilangan yang lebih dari 12 atau bilangan tersebut habis dibagi 3?
Jawab:
Misalkan
$A$ = kejadian terambil kartu dengan bilangan lebih dari 12
$B$ = kejadian terambil kartu dengan bilangan yang habis dibagi 3.
Ruang Sampel = $S= \left \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\}$.
$n(S) = 20$
$A = \left \{13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\}$
$n(A) = 8$
$B = \left \{3, 6, 9, 12, 15, 18\right\}$.
$n(B) = 6$
Selanjutnya, $(A \cap B) = \left \{15, 18\right\}$
$n(A \cap B) = 2$
Kejadian ini adalah kejadian tidak saling lepas, karena ada irisan antara $A$ dan $B$.
Maka kita akan hitung peluang gabungan kejadian ini dengan rumus peluang kejadian tidak saling lepas.
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Kita hitung dulu $P(A), P(B)$, dan $P(A \cap B)$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{8}{20}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{6}{20}$
$P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{20}$
Sehingga
$\begin{aligned}P(A \cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &= \frac{8}{20}+\frac{6}{20}-\frac{2}{20} \\ &= \frac{12}{20} \\ &= \frac{6}{10} \\ &= 0,6 \end{aligned}$
Jadi, peluang terambilnya kartu dengan bilangan yang lebih dari 12 atau bilangan tersebut habis dibagi 3 adalah 0,6.
$\odot$ Contoh 2 $\odot$
Dari satu set kartu bridge tanpa Joker, diambil secara acak 1 buah kartu. Berapa peluang terambilnya kartu bergambar diamond atau kartu bergambar wajah?
Jawab:
Misalkan
$A$ = kejadian terambil kartu bergambar diamond
$B$ = kejadian terambil kartu bergambar wajah.
Dalam hal ini, ruang sampelnya adalah $S$ = {2♠, 3♠, 4♠, 5♠, 6♠, 7♠, 8♠, 9♠, 10♠, J♠, Q♠, K♠, A♠, 2♣, 3♣, 4♣, 5♣, 6♣, 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣, A♣, 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥, A♥, 2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦, A♦}.
$n(S) = 52$
$A$ = {2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦, A♦}
$n(A) = 13$
$B$ = {J♠, Q♠, K♠, J♣, Q♣, K♣, J♥, Q♥, K♥, J♦, Q♦, K♦}.
$n(B) = 12$
Selanjutnya, A ∩ B = {J♦, Q♦, K♦}.
$n(A \cap B) = 3$
Dengan rumus $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$, diperoleh :
$\begin{aligned}P(A \cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &= \frac{n(A)}{n(S)}+\frac{n(B)}{n(S)}-\frac{n(A \cap B)}{n(S)}\\ &= \frac{13}{52}+\frac{12}{52}-\frac{3}{52} \\ &= \frac{22}{52} \\ &= \frac{11}{26} \\ &\approx 0,4231 \end{aligned}$
Jadi, peluang terambilnya kartu bergambar diamond atau kartu bergambar wajah adalah 0,4231.
Pada Contoh 1 dan Contoh 2, pasangan-pasangan kejadian yang diberikan merupakan kejadian-kejadian yang tidak saling lepas. Perhatikan bahwa pada kedua contoh tersebut, P(A∩B) ≠ 0.
b. Peluang Kejadian Saling Lepas
Dua buah kejadian dikatakan saling lepas apabila kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.
Karena tidak dapat terjadi secara bersamaan, maka tidak ada irisan diantara dua kejadian tersebut. $A$ dan $B$ tidak memiliki irisan.
Pada diagram venn ini, $A \cap B = \oslash$ dan $n(A \cap B) = 0$
Sehingga, jika kita subtitusi pada rumus $n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B),$ akan menjadi bentuk berikut :
$\begin{aligned}n(A \cup B)&=n(A)+n(B)-n(A\cap B) \\ &= n(A) + n(B) – 0 \\ &= n(A) + n(B) \end{aligned}$
Dari bentuk ini, kita bisa menentukan rumus peluang pada kejadian saling lepas yakni :
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
$\odot$ Contoh 3 $\odot$
Dari satu set kartu bridge tanpa Joker, diambil secara acak 1 buah kartu. Berapa peluang terambilnya kartu bergambar diamond atau kartu bergambar hati?
Jawab :
Misalkan
$A$ = kejadian terambil kartu bergambar diamond
$B$ = kejadian terambil kartu bergambar hati.
Dalam hal ini, ruang sampelnya adalah $S$ = {2♠, 3♠, 4♠, 5♠, 6♠, 7♠, 8♠, 9♠, 10♠, J♠, Q♠, K♠, A♠, 2♣, 3♣, 4♣, 5♣, 6♣, 7♣, 8♣, 9♣, 10♣, J♣, Q♣, K♣, A♣, 2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥, A♥, 2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦, A♦}.
$n(S) = 52$
$A$ = {2♦, 3♦, 4♦, 5♦, 6♦, 7♦, 8♦, 9♦, 10♦, J♦, Q♦, K♦, A♦}
$n(A) = 13$
$B$ = {2♥, 3♥, 4♥, 5♥, 6♥, 7♥, 8♥, 9♥, 10♥, J♥, Q♥, K♥}
$n(B) = 13$
Selanjutnya, A ∩ B = { } (himpunan kosong), karena tidak ada irisan antara $A$ dan $B$.
Lagi, karena tidak ada irisan antara keduanya, maka kita akan menggunakan rumus peluang kejadian saling lepas.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{13}{52}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{13}{52}$
Dengan rumus $P(A \cup B)=P(A)+P(B),$ diperoleh:
$\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A)+P(B) \\ &= \frac{13}{52} + \frac{13}{52} \\ &= \frac{26}{52} \\ &= 0,5 \end{aligned}$
Jadi, peluang terambilnya kartu bergambar diamond atau kartu bergambar hati adalah 0,5.
Pada Contoh 3, P(A∩B) = 0. Jadi, pada pengambilan satu buah kartu secara acak dari satu set kartu bridge tersebut, tidak mungkin terambil kartu diamond dan kartu hati secara bersamaan. Ini merupakan contoh kejadian-kejadian yang saling lepas.
$\odot$ Contoh 4 $\odot$
Tiga buah uang logam dilemparkan bersamaan. Berapakah peluang muncul tepat 1 sisi gambar (G) atau tepat 1 sisi angka (A)?
Jawab:
Misalkan A = kejadian muncul tepat 1 sisi G dan B = kejadian muncul tepat 1 sisi A.
Ruang sampel pada eksperimen ini adalah S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}.
$n(S) = 8$
A = {GAA, AGA, AAG}
$n(A) = 3$
B = {GGA, GAG, AGG}
$n(B) = 3$
A∩B = { } (himpunan kosong)
Karena tidak memiliki irisan, kita akan menghitung peluangnya menggunakan rumus peluang kejadian saling lepas.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{8}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{8}$
Dengan rumus $P(A \cup B)=P(A)+P(B),$ diperoleh:
$\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A)+P(B) \\ &= \frac{3}{8} + \frac{3}{8} \\ &= \frac{6}{8} \\ &= 0,75 \end{aligned}$
Jadi, peluang muncul tepat 1 sisi gambar (G) atau tepat 1 sisi angka (A) adalah 0,75.
Pada Contoh 4, P(A∩B) = 0. Ini menunjukkan bahwa kejadian-kejadian tersebut saling lepas, kejadian-kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersamaan. Pada pelemparan tiga uang logam sekaligus, tidak mungkin kemunculan tepat 1 sisi gambar bersamaan dengan kemunculan tepat 1 sisi angka.
Review…
Untuk menentukan sebuah kejadian tidak saling lepas atau saling lepas, tanyakan 1 hal..
Mungkin nggak sih dua kejadian ini terjadi secara bersamaan?
Jika MUNGKIN, berarti kejadian TIDAK SALING LEPAS.
Jika TIDAK MUNGKIN, berarti kejadian SALING LEPAS.
Oke?
$\odot$ Latihan $\odot$
- Pada 1 set kartu bridge tanpa joker akan diambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang terambil karut As atau kartu sekop!
- Pada 1 set kartu bridge akan diambil 1 kartu secara acak. Tentukan terambil kartu As atau kartu Queen!
Selamat mencoba … 🙂