Sebelumnya kita sudah membahas tentang pengantar teori peluang, selanjutnya pada pertemuan kali ini kita akan membahas tentang soal-soal terkait materi peluang suatu kejadian. Berikutnya kita akan membahas tentang peluang kejadian majemuk
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
Untuk mengingat materi sebelumnya, kita bahas 2 contoh lagi tentang peluang suatu kejadian ya!
$\odot$ Contoh 1 : Menentukan Peluang Terambil Jeruk Segar $\odot$
Dalam sebuah keranjang jeruk terdapat 2 jeruk busuk dan 5 jeruk segar. Akan diambil 3 jeruk dari keranjang itu. Tentukan peluang terambil :
a. Satu diantaranya adalah jeruk busuk
b. Ketiganya adalah jeruk segar
Jawab :
a. Satu diantaranya adalah jeruk busuk
Menentukan alur berpikir :
- Menentukan ruang sampel
- Menentukan kejadian satu diantara jeruk yang diambil adalah jeruk busuk
- Menentukan peluang
Menentukan Ruang Sampel
Pada kejadian mengambil 3 jeruk dari 7 jeruk di keranjang, maka kita akan menentukan nilai $_7C_3$, karena $n = 7, r = 3 \to$ Ingat lagi materi kombinasi!
$\begin{aligned}_nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ n(S) &= _7C_3 \\ &= \frac{7!}{(7-3)! \times 3!)} \\ &= \frac{7!}{4! \times 3!} \\ &= \frac{7 \times 6 \times 5 \times \textcolor{red}{4!}}{\textcolor{red}{4!} \times 3 \times 2 \times 1} \\ &= \frac{7 \times \textcolor{red}{6} \times 5}{\textcolor{red}{6}} \\ &= 7 \times 5 \\ &= 35\end{aligned}$
$n(S) = 35$
Menentukan Kejadian 1 buah busuk
Karena akan mengambil 3 buah, dan 1 busuk, maka 2 yang lainnya diharapkan adalah buah segar.
Sehingga kita akan menghitung kejadian terambil 1 dari 2 buah busuk (karena ada 2 buah busuk dalam keranjang) & 2 dari 5 buah segar dari keranjang.
Dengan menggunakan konsep kombinasi dan aturan perkalian, kita akan menghitung 1 dari 2 buah busuk $\times$ 2 dari 5 buah segar, yakni …
$\begin{aligned}n(A) &= _2C_1 \times _5C_2 \\ &= \frac{2!}{(2-1)!1!} \times \frac{5!}{(5-2)!2!} \\ &= \frac{2!}{1!1!} \times \frac{5!}{3!2!} \\ &= 2! \times \frac{5.\textcolor{blue}{4}.\textcolor{red}{3!}}{\textcolor{red}{3!} \textcolor{blue}{2}.1} \\ &= 2 \times 5.2 \\ &= 20 \end{aligned}$
$n(A) = 20$
Menentukan Peluang Kejadian Terambil 1 Buah Busuk
$n(S) = 35$
$n(A) = 20$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$
$P(A) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$
Jadi, peluang terambil 1 buah busuk saat kita mengambil 3 buah dari keranjang yaitu $\frac{4}{7}$
b. Peluang terambil ketiganya adalah buah segar
Alur sama dengan bagian sebelumnya.
- Menentukan ruang sampel (sama dengan bagian a, $n(S) = 35$)
- Menentukan kejadian terambil ketiganya adalah buah segar
- Menentukan peluang
Menentukan ruang sampel
Sudah, berdasarkan hitungan di bagian $a$, $n(S) = 35$.
Menentukan Kejadian terambil ketiganya adalah buah segar
Misalkan B adalah kejadian terambil ketiganya adalah buah segar.
Karena ada 5 jeruk segar dan akan diambil 3, maka $n = 5, r = 3$
$\begin{aligned}_nC_r &= \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \\ n(B) &= _5C_3 \\ &= \frac{5!}{(5-3)! \times 3!)} \\ &= \frac{5!}{2! \times 3!} \\ &= \frac{5 \times 4 \times \textcolor{red}{3!}}{2 . 1 \times \textcolor{red}{3!}} \\ &= \frac{5 \times 4}{2} \\ &= \frac{20}{2} \\ &= 10\end{aligned}$
$n(B) = 10$
Menentukan Peluang kejadian
$n(S) = 35$
$n(B) = 10$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)}$
$P(B) = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$
Jadi, peluang terambil ketiganya adalah buah segar adalah $\frac{2}{7}$
$\odot$ Contoh 2 : Menentukan Posisi Duduk $\odot$
Dalam sebuah ruangan terdapat 2 orang wanita dan 5 orang pria duduk berjajar. Tentukan peluang :
a. Kedua wanita duduk berdampingan
b. Masing-masing wanita duduk di tempat paling ujung
Jawab :
a. Kedua wanita duduk berdampingan
Ini adalah percobaan menyusun 7 unsur, yakni 2 wanita dan 5 pria.
Menentukan Ruang Sampel
Banyak ruang sampel, $n(S) = 7!$
Kok $7!$? Ya karena akan menyusun 7 unsur secara berjajar. Ini kan materi permutasi n dari n unsur ya toh?!
Menentukan banyak kejadian dua wanita berdampingan
Kejadian A = kejadian kedua wanita duduk berdampingan
Anggap wanita itu adalah $W_1$ dan $W_2$.
Ada 2 kemungkinan posisi duduk saat mereka berdua berdampingan, yaitu $W_1 W_2$ atau $W_2 W_1$.
Misalnya posisinya begini :
$W_1 W_2PPPPP$
$PW_1 W_2PPPP$
$PPW_1 W_2PPP$
$\vdots$
$W_2 W_1PPPPP$
$PW_2 W_1PPPP$
Dan seterusnya
Adanya 2 kemungkinan ini berarti susunan nanti dikali 2.
Karena selalu duduk berdampingan, maka 2 orang ini dianggap sebagai 1 unsur. Sehingga, untuk menentukan banyak kejadian kita hanya akan menghitung 6 unsur saja (Tapi ingat, dikali 2. Karena ada 2 kemungkinan posisi duduk wanita, $W_1W_2$ dan $W_2W_1$)
Untuk menyusun 6 unsur, ada berapa cara? Pake permutasi n dari n unsur. Maka hasilnya pasti $6!$
$n(A) = 6! \times 2$
Menentukan peluang kejadian A
Ingat,
$n(S) = 7!$
$n(A) = 6! \times 2$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6! \times 2}{7!} = \frac{\textcolor{blue}{6!} \times 2}{7 . \textcolor{blue}{6!}} = \frac{2}{7}$
Jadi, peluang dua wanita duduk selalu berdampingan adalah $\frac{7}{2}$
b. masing-masing wanita duduk paling ujung
Menentukan Ruang sampel
Sama dengan bagian sebelumnya, karena kita akan menyusun 7 unsur (2 wanita + 5 pria), maka $n(S) = 7!$
Menentukan Kejadian dua wanita selalu di ujung.
Misalkan kejadian B = kejadian dua wanita duduk di ujung
Kemungkinan posisinya seperti ini …
$W_1PPPPPW_2$
dan
$W_2PPPPPW_1$
Ada 2 kemungkinan juga kan ya ..
Kita tinggal menyusun 5 orang pria yang diapit.
Karena akan menyusun 5 orang pria dikali 2 kemungkinan posisi wanita, maka
$n(B) = 5! \times 2$
Menghitung peluang kejadian B
$n(S) = 7!$
$n(B) = 5! \times 2$
$P(B) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5! \times 2}{7!} = \frac{\textcolor{blue}{5!} \times 2}{7 . 6 . \textcolor{blue}{5!}} = \frac{2}{7.6} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21}$
$\odot$ Latihan $\odot$
- Sebanyak 4 anak perempuan dan 2 anak laki-laki akan duduk secara berjajar. Tentukan peluang anak laki-laki duduk berdampingan!
- Sebanyak 4 anak perempuan dan 2 anak laki-laki akan duduk secara berjajar. Tentukan peluang anak laki-laki duduk di tempat paling ujung!
4. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mempermudah pemahaman tentang kisaran atau rentang atau interval nilai peluang, kita akan lihat beberapa contoh nilai peluang berikut ini!
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu dengan ruang sampel $S = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$ dan banyaknya titik sampel adalah $n(S) = 6$, maka …
a. Peluang muncul mata dadu 4
$E_1 = \left\{4\right\}$
$n(E_1) = 1$
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{1}{6}$
b. Peluang muncul mata dadu genap
$E_2 = \left\{2, 4, 6\right\}$
$n(E_2) = 3$
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
c. Peluang muncul mata dadu kelipatan 3
$E_3 = \left\{3, 6\right\}$
$n(E_3) = 2$
$P(E_3) = \frac{n(E_3)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
d. Peluang muncul mata dadu 7
$E_4 = \left\{\right\}$
$n(E_4) = 0$
$P(E_4) = \frac{n(E_4)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0$
e. Peluang muncul mata dadu kurang dari 7
$E_5 = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}$
$n(E_5) = 6$
$P(E_5) = \frac{n(E_5)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1$
Jika diperhatikan, maka rentang nilai peluang selalu berada antara 0 dan 1, tidak pernah kurang dari 0 dan tidak pernah lebih dari 1.
Dapat ditulis,
$0 \leq P(X) \leq 1$
Jadi, jika nanti kamu menghitung peluang dan hasilnya kurang dari 0 atau lebih dari 1, pasti ada yang salah dengan hitunganmu. 😀
$\odot$ Contoh 3 : Peluang Kejadian 0 $\odot$
a). Berikut ini adalah contoh peluang kejadian yang nilainya adalah 0Pada percobaan melempar sebuah dadu, tentukan peluang muncul mata dadu 7!
b). Percobaan pengambilan 1 bola dari dalam kantong yang berisi 5 bola hitam dan 5 bola putih. Tentukan peluang terambil 1 bola merah!
Coba dihitung-hitung contoh 3 bagian a) dan b), pasti peluangnya 0, alias NOL, alias ZERO, alias KAMBU’! 😀
$\odot$ Contoh 4 : Peluang Kejadian 1 $\odot$
Berikut ini contoh peluang kejadian yang pasti 1
c). Pada percobaan pelemparan 1 dadu, kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu kurang dari 7. Tentukan peluang kejadian A!
d). Pada percobaan pelemparan sebuah koin, kejadian B adalah kejadian munculnya koin atau angka. Tentukan peluang kejadian B!
Ya pasti 1 lah.
Pasti terjadi kan …
Hitungmi kalo ndak percaya. 😀
5. Peluang Komplemen
Perhatikan himpunan berikut ini
Jika …
$S = \left\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}$ dan
$A = \left\{3, 6 \right\}$
Maka, terdapat sebuah himpunan komplemen (lawan) dari A, yang disimbolkan dengan $A^c$ yang anggotanya adalah selain anggota A, yakni
$A^c = \left\{1, 2, 4, 5 \right\}$
Pada himpunan juga berlaku,
$n(A) + n(A^c) = n(S)$
Jika kita menghitung peluangnya, maka semuanya dibagi dengan $n(S)$, menjadi
$\frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(A^c)}{n(S)} = \frac{n(S)}{n(S)}$
$P(A) + P(A^c) = 1$
So, ingat ya …
Bahwa peluang sebuah kejadian ditambah dengan peluang komplemen kejadian tersebut, hasilnya adalah 1.
$\odot$ Contoh 5 : Peluang Lulus dalam tes $\odot$
Misalkan peluang Budi tidak lulus dalam sebuah tes adalah $\frac{2}{7}$, tentukanlah peluang Budi lulus dalam tes tersebut!
Jawab :
Peluang Lulus + Peluang tidak lulus = 1 $\to$ ingat aturan ini!
Misalkan A adalah kejadian Budi lulus tes,
Berarti peluang tidak lulus = $P(A^c) = \frac{2}{7}$
maka ditulis
$P(A) + P(A^c) = 1$
$P(A) + \frac{2}{7} = 1$
$P(A) = 1 – \frac{2}{7}$
$P(A) = \frac{7}{7} – \frac{2}{7}$
$P(A) = \frac{5}{7}$
Jadi, peluang Budi lulus tes tersebut adalah $\frac{5}{7}$
$\odot$ Contoh 6 : Pengambilan Kelereng $\odot$
Dua kelereng diambil secara acak dari kantong yang berisi 3 kelereng merah, 4 kelereng biru dan 5 kelereng hijau. Tentukan peluang terambil BUKAN keduanya kelereng hijau!
Jawab :
Kita akan manfaatkan peluang komplemen kejadian.
Akan diambil 2 kelereng dari total 3 + 4 + 5 = 12 kelereng. Lantas akan ditentukan peluang terambil BUKAN keduanya kelereng hijau.
Pahami dulu maksud BUKAN keduanya hijau. Ini artinya, BUKAN 2 hijau.
Berarti kalau keduanya merah, boleh kan?
Keduanya biru, boleh kan?
Merah biru, boleh kan?
Merah hijau boleh kan?
Hijau biru, boleh juga toh?
Nah, daripada kita hitung yang banyak jenis ini, lebih baik kita hitung 2 hijau saja, terus nanti kita manfaatkan rumus peluang komplemen untuk menentukan BUKAN 2 hijau.
Pahami lagi …
Jadi kita misalkan itu sebagai kejadian A.
$A$ = MM, MB, MH, BB, dst
$A^c$ = HH $\to$ Hijau Hijau, keduanya hijau.
Tujuan kita adalah menghitung peluang A, dengan memanfaatkan Peluang $A^c$.
Kenapa $A^c$? Karena lebih gampang, hitungannya lebih sedikit.
Maka kita akan menentukan :
- Menentukan Ruang sampel
- Menentukan Kejadian $A^c$
- Menentukan Peluang $A^c$
- Menemukan Peluang $A$ dengan menggunakan sifat komplemen
Menentukan Ruang Sampel
Kita akan mengambil 2 kelereng dari 12 yang tersedia dalam kotak.
$n(S) = _{12}C_2 = \frac{12!}{(12-2)!2!} = \frac{12!}{10!2!} = \frac{12.11.10!}{10!2.1} = \frac{12.11}{2} = 66$
Menentukan Kejadian keduanya hijau $n(A^c)$
Dari 5 kelereng hijau, $A^c$ adalah terambil 2 hijau.
$n(A) = _5C_2 = \frac{5!}{(5-2)!2!} = \frac{5.4.3!}{3!2.1} = \frac{20}{2} = 10$
Menentukan Peluang $P(A^c)$
$P(A^c) = \frac{n(A^c)}{n(S)} = \frac{10}{66} = \frac{5}{33}$
Menentukan Peluang $P(A)$
Karena tujuan awal kita adalah menghitung peluang BUKAN keduanya hijau (atau $P(A^c)$), maka kita manfaatkan rumus peluang komplemen berikut
$\begin{aligned}P(A) + P(A^c) &= 1 \\ P(A) &= 1 – P(A^c) \\ &= 1 – \frac{5}{33} \\ &= \frac{33-5}{33} \\ &= \frac{28}{33}\end{aligned}$
Jadi, peluang terambil BUKAN keduanya hijau adalah $\frac{28}{33}$.
$\odot$ Latihan $\odot$
- Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Tentukan peluang muncul dua mata dadu yang jumlah $n$ dengan $4 \leq n \leq 11$!
- Dari angka $1, 3, 4, 5, 7, 8, 9$ akan dibentuk bilangan ratusan dengan tidak ada angka yang berulang. Tentukan peluang bilangan yang terbentuk bukan merupakan bilangan genap!