Setelah sebelumnya kita membahas tentang bagaimana cara menyelesaikan limit dengan metode pemfaktoran, kita akan lanjutkan dengan menyelesaikan limit melalui perkalian akar sekawan.
Note :
Beberapa yang sudah kumpul tugas melakukan kesalahan pada penulisan simbol limit. Simbol limit dihilangkan sejak langkah awal ADALAH SALAH!
Simbol Limit TIDAK DITULIS KETIKA KITA SUDAH MULAI MELAKUKAN SUBTITUSI!
Perhatikan cara penulisan yang benar pada contoh berikut ini!
3. Menyelesaikan Limit dengan Perkalian Akar Sekawan
Sebelum membahas bagian ini, ingat salah satu rumus sederhana berikut :
$(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$
Contoh penerapan rumus ini adalah pada bentuk :
- $(x\textcolor{red}{-}3)(x\textcolor{red}{+}3) = x^2 – 3^2 = x^2 – 9$
- $(2x\textcolor{red}{-}1)(2x\textcolor{red}{+}1) = (2x)^2 – (1)^2 = (2x)(2x) – 1 = 4x^2 – 1$
- $(\sqrt{x}\textcolor{red}{-}2)(\sqrt{x}\textcolor{red}{+}2) = (\sqrt{x})^2 – 2^2 = x – 4$
- $\begin{aligned}(\sqrt{4-x}\textcolor{red}{-}\sqrt{4+x})(\sqrt{4-x}\textcolor{red}{+}\sqrt{4+x}) &= (\sqrt{4-x})^2-(\sqrt{4+x})^2 \\ &= (4-x)-(4+x)\end{aligned}$
$\odot$ Contoh 1 $\odot$
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$
Jawab :
Langkah pertama : Lakukan Subtitusi
Jika disubtitusi, yakni mengganti nilai $x$ dengan $4$, maka kita peroleh :
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} &= \frac{4-4}{\sqrt{4}-2} \\ &= \frac{0}{2-2} \\ &= \frac{0}{0} \end{aligned}$
Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu), maka kita lakukan langkah berikutnya.
Langkah kedua : Perkalian dengan Akar Sekawan
Karena limit ini memuat bentuk akar, maka kita akan kalikan dengan akar sekawan.
Nah, pertanyaannya adalah ..
Apakah akar sekawan dari $\sqrt{x}-2$?
Bentuk akar sekawan digunakan untuk merasionalkan bentuk akar dalam menyederhanakan pecahan. Bentuk akar sekawan menyesuaikan bentuk akar. Perhatikan bentuk umum akar dan akar sekawannya yang diberikan pada tabel berikut.
Dengan memperhatikan aturan di atas, maka
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt{x}-2$ adalah …
$\sqrt{x}+2$
Dalam hal ini, kita akan kalikan limit dengan $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}$. Jangan lupa, bahwa $\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = 1$, dan perkalian dengan $1$ tidak mengubah nilai dari bentuk sebuah bilangan.
***
Ingat! Berdasarkan rumus $(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$, maka
$(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = (\sqrt{x})^2 – 2^2 = (x – 4)$
***
Maka penulisan limit di atas berubah menjadi :
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} &= \displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} \times \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{\textcolor{orange}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}} \\ &= \lim_{x \to 4}\frac{(x-4)(\sqrt{x}+2)}{\textcolor{orange}{((\sqrt{x})^2-2^2)}} \\ &= \lim_{x \to 4}\frac{\textcolor{red}{(x-4)}(\sqrt{x}+2)}{\textcolor{red}{(x-4)}} \\ &= \lim_{x \to 4} ({\sqrt{x}+2}) \\ &= \sqrt{4}+2 \\ &= 2 + 2 \\ &= 4 \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 4}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2} = 4$
$\odot$ Contoh 2 $\odot$
Tentukan nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}}{x^2+4x}$
Jawab :
Langkah Pertama : Lakukan Subtitusi
Jika kita subtitusi, dengan mengganti nilai $x$ dengan $0$, maka
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}}{x^2+4x} &= \frac{\sqrt{4-0}-\sqrt{4+0}}{0^2+4(0)} \\ &= \frac{\sqrt{4}-\sqrt{4}}{0+0} \\ &= \frac{0}{0} \end{aligned}$
Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu), maka kita lakukan langkah berikutnya.
Langkah kedua : Perkalian dengan Akar Sekawan
Karena limit ini memuat bentuk akar, maka kita akan kalikan dengan akar sekawan.
Akar sekawan dari $\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}$ adalah $\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$
Akar sekawan itu TANDA OPERASI DI LUAR AKAR YANG BERBEDA.
Limit dikalikan dengan akar sekawan menjadi :
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}}{x^2+4x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\textcolor{red}{\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}}}{x^2+4x} \times \frac{\textcolor{red}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\textcolor{red}{(\sqrt{4-x})^2-(\sqrt{4+x})^2}}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\textcolor{red}{(4-x)-(4+x)}}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4-x-4-x}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-2x}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \end{aligned}$
Karena pembuat bentuk tak tentunya belum terlihat, maka kita faktorkan bentuk yang bisa difaktorkan, yaitu $(x^2+4x)$. Bentuk $(x^2+4x)$ bisa diubah menjadi $x(x+4)$
Dilanjutkan menjadi …
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}}{x^2+4x} &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\textcolor{red}{\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}}}{x^2+4x} \times \frac{\textcolor{red}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}}}{\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\textcolor{red}{(\sqrt{4-x})^2-(\sqrt{4+x})^2}}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\textcolor{red}{(4-x)-(4+x)}}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{4-x-4-x}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-2x}{(x^2+4x)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-2\textcolor{red}{x}}{\textcolor{red}{x}(x+4)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{-2}{(x+4)(\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x})} \\ &= \frac{-2}{(0+4)(\sqrt{4-0}+\sqrt{4+0})} \\ &= \frac{-2}{4(\sqrt{4}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{-2}{4(4)} \\ &= \frac{-2}{16} \\ &= -\frac{1}{8} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{4-x}-\sqrt{4+x}}{x^2+4x} = -\frac{1}{8}$.
$\odot$ Contoh 3 $\odot$
Tentukan nilai limit dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2}$
Jawab :
Langkah Pertama : Lakukan Subtitusi
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} &= \frac{\sqrt{2+2}-\sqrt{3(2)-2}}{2-2} \\ &= \frac{\sqrt{4}-\sqrt{4}}{0} \\ &= \frac{2-2}{0} \\ &= \frac{0}{0} \end{aligned}$
Hasilnya $\frac{0}{0}$ (Bentuk tak tentu) maka kita lanjut ke langkah berikutnya.
Langkah kedua : Perkalian dengan Akar Sekawan
Akar sekawan dari $\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}$ adalah $\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}$
Ditulis menjadi
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}}{x-2} \times \frac{\textcolor{red}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{(\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})}}{(x-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{((\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{3x-2})^2)}}{(x-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{(x+2)-(3x-2)}}{(x-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{x+2-3x+2}}{(x-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{-2x+4}}{(x-2)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{-2\textcolor{red}{(x-2)}}{\textcolor{red}{(x-2)}(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{-2}{(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2})} \\ &= \frac{-2}{(\sqrt{2+2}+\sqrt{3(2)-2})} \\ &= \frac{-2}{(\sqrt{4}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{-2}{2+2} \\ &= \frac{-2}{4} \\ &= -\frac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}{x-2} = -\frac{1}{2}$
$\odot$ Contoh 4 $\odot$
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x+2}-1)}{x-2}$
Jawab :
Langkah Pertama : Lakukan Subtitusi
Jika disubtitusi, maka nilai limit menjadi
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x+2}-1)}{x-2} &= \frac{(\sqrt{2-1}-1)(\sqrt{2+2}-1)}{2-2} \\ &=\frac{(\sqrt{1}-1)(\sqrt{4}-1)}{2-2} \\ &= \frac{(1-1)(2-1)}{0} \\ &= \frac{(0)(1)}{0} \\ &= \frac{0}{0} \end{aligned}$
Karena hasilnya $\frac{0}{0}$ (Bentuk Tak Tentu), maka kita lakukan langkah berikutnya.
Langkah kedua : Perkalian dengan Akar Sekawan
Karena limit ini memuat bentuk akar, maka kita akan kalikan dengan akar sekawan.
Pada limit ini terdapat perkalian bentuk akar. Kita ambil akar sekawan dari salah satu bentuk akar saja, dalam hal ini adalah yang sebelah kiri ya.
Akar sekawan dari $\sqrt{x-1}-1$ adalah $\sqrt{x-1}+1$
Ditulis menjadi
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x+2}-1)}{x-2} &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x+2}-1)}{x-2} \times \frac{\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{x-1}+1} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}+1)}(\sqrt{x+2}-1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{((\sqrt{x-1})^2-1^2)}(\sqrt{x+2}-1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{red}{((x-1)-1)}(\sqrt{x+2}-1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)} \\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{\textcolor{orange}{(x-2)}(\sqrt{x+2}-1)}{\textcolor{orange}{(x-2)}(\sqrt{x-1}+1)}\\ &= \displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{x+2}-1)}{(\sqrt{x-1}+1)} \\ &= \frac{(\sqrt{2+2}-1)}{(\sqrt{2-1}+1)} \\ &= \frac{\sqrt{4}-1}{\sqrt{1}+1} \\ &= \frac{2-1}{1+1} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$
Jadi, nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x+2}-1)}{x-2} = \frac{1}{2}$
Tugas 3
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Pastikan tulisanmu rapi ya..
TULIS IDENTITAS dengan jelas di sudut kiri atas (Pada Lembar Jawaban & pada Pesan Inbox di Messenger)!
TUGAS 3
Nama :
Kelas :
Foto jawabanmu & kirimkan ke inbox FB saya (m.me/muh.zainalabidin) sebelum 31 Maret 2021 ya ..
Tentukan nilai limit berikut ini …
- $\displaystyle \lim_{x \to -2}\frac{x+2}{\sqrt{x+6}-2}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 7}\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{x-3}$
- $\displaystyle \lim_{x \to 1}\frac{3x^2+2x-5}{\sqrt{x+4}-\sqrt{6-x}}$