Halo … Pada pertemuan sebelumnya kita sudah membahas perihal pengenalan integral. Ingat kembali, bahwa integral adalah anti turunan atau kebalikan dari turunan. Jika turunan bertujuan untuk menemukan nilai $f'(x)$ saat fungsi awal $f(x)$ diketahui, maka integral adalah sebaliknya, yakni bertujuan untuk menemukan fungsi awal $f(x)$ jika $f'(x)$ diketahui. Sejatinya begitu yah.
Jika ada hal yang belum jelas tentang pengenalan integral, kamu boleh baca ulang di artikel pada link ini >> https://bdr.masbied.com/bdr-genap-kelas-xi/2672/xi-8-1-pengenalan-integral/
Kita lanjut pada materi sifat-sifat integral tak tentu ya ..
B. Sifat-sifat Integral
Sebelum lanjut ke sifat-sifat integral, baiknya kita ingat kembali rumus umum integral berikut
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
Bentuk ini juga dapat berlaku jika $a=1$, yakni
$\boxed{\int x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
Berikut ini adalah beberapa sifat integral tak tentu..
1. $\boxed{\int dx = x + C}$
2. $\boxed{\int k dx = k \int dx = kx + C}$
Contoh 1 :
$\int 2 dx = \cdots$
Jawab :
$\int 2 dx = 2 \int dx = 2x + C$
Mau bukti? Yuk lihat kembali rumus umum integralnya.
$\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C$
Sehingga,
$\begin{aligned}\int 2 dx &= \int \textcolor{green}{2}x^\textcolor{red}{0}dx &\to x^0=1 \\ &=\frac{\textcolor{green}{2}}{\textcolor{red}{0}+1}x^{\textcolor{red}{0}+1}+C \\ &= \frac{2}{1}x^{1}+C \\ &=2x + C \end{aligned}$
$\therefore \int 2 dx=2x + C$
Contoh 2 :
$\int 5 dx =\cdots$
Jawab :
Berdasarkan sifat $\int k dx = k \int dx = kx + C$, maka
$\int 5dx = 5 \int dx = 5x + C$
Buktikan sendiri ya kalo mau. 🙂
Contoh 3 :
$\int -4 dx = \cdots$
Jawab :
Berdasarkan sifat $\int k dx = k \int dx = kx + C$, maka
$\int -4 dx = -4 \int dx = -4x + C$
Bukti? Nih.
$\begin{aligned}\int -4 dx &= \int \textcolor{green}{-4}x^\textcolor{red}{0}dx &\to x^0=1 \\ &=\frac{\textcolor{green}{-4}}{\textcolor{red}{0}+1}x^{\textcolor{red}{0}+1}+C \\ &= \frac{-4}{1}x^{1}+C \\ &=-4x + C \end{aligned}$
$\therefore \int -4 dx=-4x + C$
Contoh 4 :
$\int 5x^4 dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int \textcolor{green}{5}x^\textcolor{red}{4}dx &=5 \int x^4 dx \\ &=5 .\frac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{red}{4}+1}x^{\textcolor{red}{4}+1}+C \\ &= 5 . \frac{1}{5}x^{5}+C \\ &=\frac{5}{5}.x^5 + C \\ &= x^5 +C \end{aligned}$
Sama juga, bisa ditulis …
$\begin{aligned}\int \textcolor{green}{5}x^\textcolor{red}{4}dx &=\frac{\textcolor{green}{5}}{\textcolor{red}{4}+1}x^{\textcolor{red}{4}+1}+C \\ &= \frac{5}{5}x^{5}+C \\ &=1.x^5 + C \\ &= x^5 +C \end{aligned}$
$\therefore \int 5x^4 dx = x^5 +C$
Kalau kamu amati, integral kan anti turunan. Nah, turunan dari $x^5$ adalah $5x^4$, berarti betul dong yah …
Contoh 5 :
$\int 3 \sqrt{x} dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int 3 \sqrt{x} dx &= \int 3x^{\frac{1}{2}}dx \\ &=3 \int x^{\frac{1}{2}} dx \\ &= 3. \frac{\textcolor{green}{1}}{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}+1}x^{\textcolor{red}{\frac{1}{2}}+1}+C \\ &= 3. \frac{1}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}}+C \\ &= \frac{3}{\frac{3}{2}}.x^{\frac{3}{2}}+C & \frac{3}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{1} \times \frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2 \\ &= 2.x^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}$
$\therefore \int 3 \sqrt{x} dx = 2x^{\frac{3}{2}} + C$
Contoh 6 :
$\int \sqrt[3]{x^4} dx=\cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int \sqrt[3]{x^4} dx&=\int x^{\frac{4}{3}} dx \\ &= \frac{1}{\frac{4}{3}+1}.x^{\frac{4}{3}+1}+C \\ &=\frac{1}{\frac{7}{3}}.x^{\frac{7}{3}}+C \\ &=\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+C \end{aligned}$
$\therefore \int \sqrt[3]{x^4} dx =\frac{3}{7}x^{\frac{7}{3}}+C$
3. $\boxed{\int (f(x)+g(x))dx = \int f(x) + \int g(x)}$
4. $\boxed{\int (f(x)-g(x))dx = \int f(x) – \int g(x)}$
Contoh 7 :
$\int (x^3+x)dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int (x^3+x)dx &= \int x^3 dx + \int x dx \\ &= \frac{1}{3+1}x^{3+1} + \frac{1}{1+1}x^{1+1}+c \\ &= \frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+C \end{aligned}$
$\therefore \int (x^3+x)dx = \frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+C$
Contoh 8 :
$\int (x^5-2x^3)dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int (x^5-2x^3)dx &= \int x^5 dx – \int 2x^3 dx \\ &= \frac{1}{5+1}x^{5+1} – \frac{2}{3+1}x^{3+1}+c \\ &= \frac{1}{6}x^{6}-\frac{2}{4}x^{4}+C \\ &= \frac{1}{6}x^{6}-\frac{1}{2}x^{4}+C\end{aligned}$
$\therefore \int (x^5-2x^3)dx =\frac{1}{6}x^{6}-\frac{1}{2}x^{4}+C$
Contoh 9 :
$\int (\sqrt{x^3}+2x-x^{-2})dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int (\sqrt{x^3}+2x-x^{-2})dx &= \int \sqrt{x^3} dx + \int 2x dx – \int x^{-2} dx \\ &= \int x^{\frac{3}{2}}dx + \int 2x dx – \int x^{-2} dx \\ &= \frac{1}{\frac{3}{2}+1}x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{2}{1+1}x^{1+1}-\frac{1}{(-2)+1}x^{(-2)+1} +C\\ &=\frac{1}{\frac{5}{2}}x^{\frac{5}{2}}+\frac{2}{2}x^{2}-\frac{1}{(-1)}x^{(-1)} +C\\ &= \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+x^{2}+x^{(-1)} +C \\&=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+x^{2}+\frac{1}{x} +C\end{aligned}$
$\therefore \int (\sqrt{x^3}+2x-x^{-2})dx=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+x^{2}+\frac{1}{x} +C$
Penting!
Pada integral tidak terdapat rumus pada operasi perkalian dan pembagian fungsi. Jadi, ketika terdapat fungsi yang melibatkan operasi perkalian atau pembagian, pengerjaannya dilakukan sesuai aturan aljabar yang berlaku kemudian diterapkan rumus dasar pada poin sebelumnya.
Contoh 10 :
$\int (x(x^2-x))dx = \cdots$
Jawab :
Bentuk ini melibatkan perkalian. Jika dilihat, bentuk ini dapat dioperasikan perkaliannya, dengan hasil yang masih sederhana.
$\begin{aligned}\int (x(x^2-x))dx &= \int (x^3-x^2)dx \\ &= \int x^3dx – \int x^2dx \\ &= \frac{1}{3+1}x^{3+1} – \frac{1}{2+1}x^{2+1}+C \\ &= \frac{1}{4}x^4 – \frac{1}{3}x^3 + C \end{aligned}$
$\therefore \int (x(x^2-x))dx = \frac{1}{4}x^4 – \frac{1}{3}x^3 + C$
Contoh 11 :
$\int (x^2(x^3+2))dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int (x^2(x^2+2))dx &= \int (x^4+2x^2)dx \\ &= \int x^4 dx + \int 2x^2 dx \\ &= \frac{1}{4+1}x^{4+1} + \frac{2}{2+1}x^{2+1}+C \\ &= \frac{1}{5}x^{5}+\frac{2}{3}x^{3}+C \end{aligned}$
$\therefore \int (x^2(x^2+2))dx=\frac{1}{5}x^{5}+\frac{2}{3}x^{3}+C$
Contoh 12 :
$\int (2x-1)^5 dx =\cdots$
Bagaimana jika modelnya seperti ini? Apakah harus dikalikan?
Ingat, bahwa pangkat adalah perkalian berulang.
$\int (2x-1)^5 dx=\int (2x-1)(2x-1)(2x-1)(2x-1)(2x-1) dx = \cdots$
Lebih rumit bukan?!
Nah, untuk soal seperti ini akan kita bahas kemudian ya …
Contoh 13 :
$\int (\frac{x^3-6x^2}{x^2})dx = \cdots$
Jawab :
Bentuk ini melibatkan operasi pembagian, maka kita operasikan dengan aturan aljabar pada pembagian yakni …
$\begin{aligned}\int (\frac{x^3-6x^2}{x^2})dx &=\int (\frac{x^3}{x^2}-\frac{6x^2}{x^2})dx \\ &= \int (x-6)dx \\ &= \int x dx – \int 6 dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 – 6x + C \end{aligned}$
$\therefore \int (\frac{x^3-6x^2}{x^2})dx =\frac{1}{2}x^2 – 6x + C$
Contoh 14 :
$\int (\frac{x^3-4x^2+x}{x})dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int (\frac{x^3-4x^2+x}{x}dx &= \int (\frac{x^3}{x}-\frac{4x^2}{x}+\int{x}{x})dx \\ &= \int (x^2-4x+1)dx \\ &= \int x^2dx – \int 4x + \int 1 dx \\ &= \frac{1}{2+1}x^{2+1}-\frac{4}{1+1}x^{1+1}+x+C \\ &= \frac{1}{3}x^3-\frac{4}{2}x^2+x+C \\ &= \frac{1}{3}x^3-2x^2+x+C\end{aligned}$
$\int (\frac{x^3-4x^2+x}{x})dx=\frac{1}{3}x^3-2x^2+x+C$
Contoh 15 :
$\int (\frac{x^2-x}{x-1})dx = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\int (\frac{x^2-x}{x-1})dx &= \int (\frac{x\textcolor{red}{(x-1)}}{\textcolor{red}{(x-1)}})dx \\ &=\int x dx \\ &= \frac{1}{1+1}x^{1+1} +C \\ &= \frac{1}{2}x^2 + C\end{aligned}$
$\therefore \int (\frac{x^2-x}{x-1})dx=\frac{1}{2}x^2 + C$
Jadi, dalam mengintegralkan bentuk perkalian atau pembagian suatu fungsi bergantung pada bentuk fungsinya seperti apa. Agar terbiasa, kamu harus sering-sering mengerjakan berbagai macam soal. Oke?!
Sip.
Sampai jumpa berikutnya ya … 🙂
Tugas 7
Kerjakan tugas ini di buku latihanmu.
Pastikan tulisanmu rapi ya..
Kumpul sebelum ujian semester genap tahun ini yah …
TULIS IDENTITAS dengan jelas di sudut kiri atas (Pada Lembar Jawaban & pada Pesan Inbox di Messenger)!
TUGAS 7
Nama :
Kelas :
- $\int 3x^6dx = \cdots$
- $\int (\frac{2}{3}\sqrt{x})dx = \cdots$
- $\int (3x^2-2x) dx = \cdots$
- $\int (-15x^4+2x) dx = \cdots$
- $\int (5x^4+10x-2)dx =\cdots$
- $\int (20x^3+8x)dx = \cdots$
- $\int (x-1)(2x+1)dx =\cdots$
- $\int (2-x)^2(3x+1)dx = \cdots$
- $\int \frac{(5x-10)^2}{5}dx=\cdots$