Setelah sebelumnya kita membahas tentang pola barisan, sekarang kita akan melanjutkan materi pada barisan aritmetika.
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
B. Barisan Aritmetika
1. Pengertian Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah barisan yang memiliki selisih atau beda antar suku yang tetap.
Jika, $U_1$ adalah suku pertama, $U_2$ adalah suku kedua, $U_3$ adalah suku ke-tiga, $\cdots, U_n$ adalah suku ke-n, maka berlaku …
$\boxed{U_2 – U_1 = U_3 – U_2 = U_4 – U_3 = \cdots = U_n – U_{n-1}}$
Misalkan barisan berikut ini ..
$2, 5, 8, 11, 14, 17, \cdots$
Jika kita lihat barisan di atas, maka kita akan temukan
$U_1 = 2 \to$ $U_1$ disebut juga $a$ yakni suku pertama.
$U_2 = 5$
$U_3 = 8$
$U_4 = 11$
$U_5 = 14$
$U_6 = 17$
Sehingga, beda pada setiap suku adalah …
$U_2 – U_1 = 5 – 2 = 3$
$U_3 – U_2 = 8 – 5 = 3$
$U_4 – U_3 = 11 – 8 = 3$
$U_5 – U_4 = 14 – 11 = 3$
$U_6 – U_5 = 17 – 14 = 3$
Beda atau selisih antar setiap suku pada barisan di atas adalah tetap 3.
Istilah beda atau selisih, boleh kita misalkan dengan simbol $b$.
Maka barisan $2, 5, 8, 11, 14, 17, \cdots$ adalah contoh barisan aritmetika.
2. Rumus Suku ke-n
Pada contoh barisan $2, 5, 8, 11, 14, 17, \cdots$ kita sudah melihat bahwa :
$U_1 = 2$
$U_2 = 5$
$U_3 = 8$
$U_4 = 11$
$U_5 = 14$
$U_6 = 17$
Jika melihat pola barisan pada pembahasan sebelumnya (Klik di sini), kita bisa temukan hal berikut ini..
$\begin{aligned}\to U_2 &= U_1 + 1(3) \end{aligned}$
$\begin{aligned}\to U_3 &= U_1 + 2(3) \end{aligned}$
$\begin{aligned}\to U_4 &= U_1 + 3(3) \end{aligned}$
$\begin{aligned}\to U_5 &= U_1 + 4(3) \end{aligned}$
$\vdots$
$\begin{aligned}\to U_n &= U_1 + (n-1)(3) \end{aligned}$
Kita bisa generalisir sebagai berikut …
Pada barisan aritmetika, jika $U_1$ adalah suku pertama $(a)$, $b$ adalah beda antar suku, dan $U_n$ adalah suku ke-n, maka berlaku
$\boxed{U_n = U_1 + (n – 1) b}$
Karena $U_1 = a$, juga bisa ditulis …
$\boxed{U_n = a + (n – 1) b}$
Contoh 1 :
Tentukan suku ke-41 dari barisan berikut
$40, 33, 26, 19, 12, \cdots$
Jawab :
Pada barisan $40, 33. 26, 19, 12, \cdots$
Diketahui :
$\begin{aligned}U_1 &= 40 \\ b &= 33 – 40 = -7 \\ n &= 41\end{aligned}$
Ditanyakan :
$U_{41} = \cdots?$
Penyelesaian :
$\boxed{U_n = U_1 + (n – 1)b}$
$\begin{aligned}U_{41} &= 40 + (41 – 1)(-7) \\ &= 40 + 40 (-7) \\ &= 40 + (-280) \\ &= 40 – 280 \\ &= -240\end{aligned}$
Jadi, suku ke-41 pada barisan $40, 33. 26, 19, 12, \cdots$ adalah $-240$.
3. Suku Tengah Barisan Aritmetika
Suku tengah pada barisan aritmetika berarti suku yang berada di tengah-tengah (ya iyalah.. :D), disimbolkan dengan $U_t$
Contoh,
Pada barisan $1, 5, 9$
Yang manakah suku tengahnya?
Ya jelas, $5$.
Kalo barisannya menjadi $1, 5, 9, 13, 17$
Suku tengahnya yang mana?
Masih bisa ditentukan, yaitu $9$.
Nah, kalau barisannya jadi banyak kayak gini ..
$1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, \cdots, 201$
Bagaimana cara menentukan suku tengahnya?
Kalau mau ditulis semua sukunya kemudian baru dicari tengahnya, makan waktu dong.
Kita mulai dari yang sederhana dulu ..
Pada barisan $1, 5, 9$
$U_t$ atau suku tengah bisa dilihat dari 2 sudut pandang.
Jika dilihat dari $U_1$, maka
$U_t = U_1 + b$
Tapi jika dilihat dari $U_3$, maka
$U_t = U_3 – b$
Terus …
$\begin{equation} \frac{ \begin{array}[b]{l}U_t &= U_1 \textcolor{red}{+ b}\\U_t &= U_3 \textcolor{red}{- b} \end{array} }{2U_t = U_1 + U_3 } {+} \end{equation}$
So, $\boxed{2U_t = U_1 + U_3}$
Save dulu …
***
Bagaimana andai ada 100 suku di kiri dan 100 suku di kanan suku tengah?
Jika ada 100 suku di kiri dan di kanan, maka
$U_t = U_1 + 100b$
$U_t = U_{akhir}-100b$
Jika kita sederhanakan menjadi
$\begin{equation} \frac{ \begin{array}[b]{l} U_t &= U_1 \textcolor{red}{+ 100b}\\U_t &= U_{akhir}\textcolor{red}{-100b} \end{array} }{ 2U_t = U_1 + U_{akhir} }{+} \end{equation}$
Atau disederhakan menjadi $\boxed{2U_t = U_1 + U_n}$
Sehingga,
$\boxed{U_t = \frac{U_1 + U_n}{2}}$
So, untuk menentukan suku tengah sebuah barisan aritmetika yang diketahui suku pertama dan suku terakhirnya, maka dapat digunakan rumus $U_t = \frac{U_1 + U_n}{2}$
Contoh 2 :
Tentukan suku tengah barisan $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, \cdots, 201$
Kemudian tentukan suku ke-berapakah suku tengah tersebut!
Jawab :
Diketahui :
$U_1 = 1$
$U_n = 201$
Ditanyakan :
$U_t = \cdots?$
Penyelesaian :
$\begin{aligned}U_t &= \frac{U_1 + U_n}{2} \\ U_t &= \frac{1 + 201}{2} \\ U_t &= \frac{202}{2} \\ U_t &= 101 \end{aligned}$
Jadi, suku tengah pada barisan $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, \cdots, 201$ adalah $101$.
***
Jika ditanyakan $101$ itu adalah suku ke berapa?
Maka tinggal subtitusikan ke rumus awal $U_n = U_1 + (n-1)b$
Menjadi,
$\begin{aligned}U_n &= U_1 + (n-1)b \\ 101 &= 1 + (n-1)4 \\ 101 – 1 &= (n-1)4 \\ 100 &= (n-1) 4 \\ n – 1 &= \frac{100}{4} \\ n – 1 &= 25 \\ n &= 25 + 1 \\ n &= 26 \end{aligned}$
Jadi, suku tengah pada barisan $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, \cdots, 201$ adalah suku ke-26 pada barisan tersebut.
4. Suku Sisipan pada Barisan Aritmetika
Misalkan $x$ adalah suku pertama pada sebuah barisan aritmetika, dan $y$ adalah suku terakhirnya, dan akan disisipkan suku sebanyak $k$ pada barisan aritmetika tersebut, maka berlaku
$\begin{aligned}y &= x + (k+1)b \\ y – x &= (k+1) b \\ b &= \frac{y – x}{k + 1} \end{aligned}$
Contoh 3 :
Antara $3, \cdots, 13$ akan disisipkan 4 bilangan sehingga menjadi barisan aritmetika. Tentukan selisih setiap sukunya dan tentukan suku-suku pada barisan tersebut!
Diketahui :
Suku pertama = $x = 3 $
Suku terakhir = $y = 13$
Banyak suku sisipan = $k = 4$
Ditanyakan :
$b = \cdots?$
Penyelesaian :
$b = \frac{y – x}{k+1} = \frac{13 – 3}{4+1} = \frac{10}{5} = 2$
Jadi, bedanya $(b) = 2$
Dan barisan tersebut adalah $3, 5, 7, 9, 11, 13$.
Siiplah …
Latihan …
Silakan baca materi tentang barisan aritmetika di internet, dan coba lihat soal-soal UN terkait materi tersebut…
Selamat belajar .. 🙂