Sebelumnya kita sudah membahas tentang Barisan dan Deret Aritmetika, pada pembahasan kali ini kita akan mengkaji Barisan Geometri.
██████████
Instruksi Cara Belajar :
- Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
- Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
- Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
- Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
- Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.
██████████
C. Barisan & Deret Geometri
1. Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai pengali (rasio) yang tetap antar setiap suku barisannya.
Contoh 1 :
$3, 6, 12, 24, 48, 96, \cdots$
Jika diperhatikan, maka untuk menemukan suku berikutnya pada barisan ini selalu di-kali dengan 2.
Berapakah suku setelah $96$?
Ya tinggal 96 di-kalikan dengan 2 saja.
$96 \times 2 = 192$
Berarti barisan menjadi …
$3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, \cdots$
***
Nah, pengali pada barisan geometri ini biasa disebut dengan Rasio ($r$) atau perbandingan sebuah suku dengan suku sebelumnya.
Ditulis :
$\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = \frac{U_5}{U_4} = \cdots = \frac{U_n}{U_{n-1}} = r$
***
Untuk menemukan sebuah suku tertentu pada barisan geometri, maka dapat digunakan rumus berikut ini.
$\boxed{U_n = a.r^{n-1}}$
dengan
$U_n$ : Suku ke-$n$
$a$ : Suku pertama
$r$ : Rasio
***
Darimana asal rumus ini?
Lihat …
Jika untuk menemukan suku berikutnya pada sebuah barisan geometri adalah dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio, maka akan didapat :
$U_2 = a . r^1 = a . r^{2-1}$
$U_3 = a . r . r = a . r^2 = a . r^{3-1}$
$U_4 = a . r . r . r = a . r^3 = a . r^{4-1}$
$U_5 = a . r . r . r . r = a . r^4 = a . r^{5-1}$
$\vdots$
$\boxed{U_n = a . r^{n-1}}$
Contoh 2 :
Tentukan suku ke-$8$ pada barisan geometri berikut ini …
$2, 6, 18, 54, \cdots$
Jawab :
Diketahui :
$a = U_1 = 2 \to$ Suku pertama adalah 2
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{6}{2} = 3 \to$ Menentukan rasio bisa dilakukan melakukan perbandingan sebuah suku dengan suku sebelumnya.
$n = 8$
Ditanyakan :
$U_8 = …?$
Jawab :
$\begin{aligned}U_n &= a . r^{n-1} \\ U_8 &= 2 . 3^{8-1} \\ &= 2 . 3^7 \\ &= 2 . 2187 \\ &= 4.374 \end{aligned}$
Contoh 3 :
Tentukan suku ke-$7$ barisan geometri berikut ini …
$3, 12, 48, 192, \cdots$
Jawab :
Diketahui :
$a = 3$
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12}{3} = 4$
$n = 7$
Ditanyakan :
$U_7 = \cdots?$
Jawab :
$\begin{aligned}U_n &= a . r^{n-1} \\ U_7 &= 3 . 4^{7-1} \\ &= 3 . 4^6 \\ &= 3 . 4.096 \\ &= 12.288 \end{aligned}$
Jadi, suku ke-$7$ barisan geometri $3, 12, 48, 192, \cdots$ adalah $12.288$
2. Suku Tengah Barisan Geometri
Suku tengah pada barisan geometri adalah suku yang letaknya di tengah-tengah.
Biasanya disimbolkan dengan $U_t$
Rumus untuk menentukan suku tengah pada barisan geometri adalah :
$\boxed{U_t = \sqrt{a . U_n}}$
***
Darimana bisa dapat rumus ini?
Misalkan terdapat 3 suku.
$U_1, U_2, U_3$
Suku tengahnya jelas $U_2$
Jika kita cek, maka kita bisa memandang $U_2$ dari 2 sudut pandang.
Pandang hubungan $U_2$ dan $U_1$, maka
$U_2 = U_1 . r$
Pandang hubungan $U_2$ dan $U_3$, maka
$U_2 = \frac{U_3}{r}$
Jika pada barisan aritmetika 2 persamaan ini dijumlahkan agar bedanya hilang, maka pada barisan geometri agar nilai $r$ hilang dilakukan kuadrat.
$\textcolor{red}{U_2 = U_1 . r}$
$\textcolor{blue}{U_2 = \frac{U_3}{r}}$
Menjadi
$\begin{aligned}U_2^2 &= \textcolor{red}{U_2} . \textcolor{blue}{U_2} \\ &= \textcolor{red}{U_1 . r}. \textcolor{blue}{\frac{U_3}{r}} \\ &= U_1 . U_3 \end{aligned} $
***
Nah, bagaimana jika sukunya lebih banyak?
Misalkan di sebelah kiri dan kanan suku tengah masing-masing terdapat 100 suku, bagaimana menemukan suku tengahnya?
Berdasarkan contoh sebelumnya, maka
$\textcolor{red}{U_{tengah} = U_1 . r^{100}} \to$ Pandang hubungan $U_1$ dan $U_t$
$\textcolor{blue}{U_{tengah} = \frac{U_{akhir}}{r^{100}}} \to$ Pandang hubungan $U_t$ dan $U_{100}$
Dikuadratkan menjadi …
$\begin{aligned}U_{tengah}^2 &= \textcolor{red}{U_t} . \textcolor{blue}{U_t} \\ U_{tengah}^2 &= \textcolor{red}{U_1 . r^{100}} . \textcolor{blue}{\frac{U_akhir}{r^{100}}} \\ U_{tengah}^2 &= U_1 . U_{akhir} \to U_1 = a; U_{akhir} = U_n \\ U_{tengah}^2 &= a . U_n \\ U_{tengah} &= \sqrt{a.U_n} \end{aligned} $
***
Contoh 4 :
Tentukan suku tengah pada barisan geometri berikut ini …
$3, 6, 12, 24, 48, \cdots, 768$
Jawab :
Diketahui :
$U_1 = a = 3$
$U_n = 768$
Ditanyakan :
$U_t = \cdots?$
Jawab :
$\begin{aligned} U_t &= \sqrt{a \times U_n} \\ &= \sqrt{3 \times 768} \\ &= \sqrt {3 \times (3 \times 256)} \\ &= \sqrt {3^2 \times 256} \\ &= \sqrt {3^2 \times 16^2} \\ &= 3 \times 16 \\ &= 48 \end{aligned}$
Jadi, suku tengah pada barisan $3, 6, 12, 24, 48, \cdots, 768$ adalah $48$.
Contoh 5 :
Suku tengah pada barisan geometri $6, 18, 54, 162, \cdots, 39.366$ adalah ….
A. $486$
B. $1.458$
Silakan dicoba … 🙂
3. Suku Sisipan Barisan Geometri
Misalkan diantara 2 bilangan $x$ dan $y$ disisipkan beberapa bilangan, anggap $k$ bilangan. Agar barisan ini tetap menjadi barisan geometri, bagaimana cara menentukan rasio barisan tersebut?
***
Untuk menentukan rasio pada masalah di atas, kita dapat menggunakan aturan berikut ini …
$\boxed{r^{k+1} = \frac{y}{x}}$
***
Kok bisa begitu?
Kita coba pada barisan yang sukunya sedikit.
Jika antara $x$ dan $y$ disisipkan $p$, maka barisannya menjadi …
$x, p, y$
Dari barisan di atas dapat kita amati hal berikut
maka
$y = x . r^2$
***
Jika disisipkan 2 bilangan, maka ..
maka
$y = x . r^3$
***
Jika digeneralisir, setiap kita sisipkan sebanyak $k$ bilangan antara $x$ dan $y$, maka $r$ harus kita kalikan sebanyak $(k+1)$.
Untuk menemukan rasionya, maka kita dapatkan
$y = x . r^{k+1}$
$r^{k+1} = \frac{y}{x}$
Dengan $x$ adalah suku pertama, $y$ adalah suku terakhir, dan $k$ adalah banyak suku yang akan disisipkan.
Contoh 6 :
Diantara $1$ dan $81$ disisipkan 3 bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Carilah rasionya dan tentukan barisan tersebut!
Jawab :
Diketahui :
$x = 1$
$y = 81$
$k = 3$
Ditanyakan :
$r = …?$
Jawab :
$r^{k+1} = \frac{y}{x}$
$r^{3+1} = \frac{81}{1}$
$r^4 = 81$
$r = \pm \sqrt[4]{81}$
$r = \pm 3$
Jadi, rasionya adalah $3$ atau $-3$
Saat rasionya $3$, maka barisannya menjadi $1, 3, 9, 27, 81$
Saat rasionya $-3$, maka barisannya menjadi $1, -3, 9, -27, 81$
Kok ada 2 barisan pak?
Ya memang, karena kedua-duanya juga memenuhi syarat sebagai barisan aritmetika.
Oke?!
Contoh 7 :
Diantara $3$ dan $3.072$ disisipkan 4 bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Rasio dari barisan tersebut adalah ….
A. $4$
B. $4$ atau $-4$
C. $3$
D. $3$ atau $-3$
Selamat belajar …
B.4 atau-4