XII 1.2 : Teorema Pythagoras

Setelah pertemuan pertama membahas tentang pengantar geometri, maka pada bagian ini kita akan membahas tentang Teorema Phytagoras.

Kenapa harus membahas lagi materi ini? Bukankah materi ini pernah dipelajari di SMP?

Yup, betul. Materi ini pernah dipelajari di SMP. Sekarang akan kita ulang untuk sekedar mengingat lagi, karena materi ini akan sangat membantu menghitung jarak pada materi di pertemuan berikutnya.

Yuk mulai …

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

Teorema Phytagoras

Teorema Phytagoras merupakan sebuah aturan matematika yang bisa dipakai dalam menentukan panjang salah satu sisi dari suatu segitiga siku-siku.

Yang perlu kalian ingat dari teorema ini yaitu TEOREMA PHYTGORAS HANYA BERLAKU PADA SEGITIGA SIKU-SIKU. 

Ini artinya, teorema phytagoras tidak dapat digunakan untuk menentukan sisi dari sebuah segitiga yang tidak berbentuk siku-siku.

Pada dasarnya, teorema pythagoras sederhana, yakni kita hanya diminta untuk menghitung panjang sisi dari suatu segitiga siku-siku jika panjang dua sisi lainnya telah kita ketahui.

Kalau dua buah sisi lain belum diketahui, maka kita harus menggunakan cara lain untuk menemukan panjang sisi yang ditanyakan.

Sifat Teorema Pythagoras

Terdapat dua sifat yang ada dalam teorema pythagoras,  diantaranya yaitu:

1. Hanya berlaku untuk segitiga siku-siku
2. Minimal harus ada 2 sisi yang diketahui terlebih dahulu

Karakteristik Suatu Segitiga

1. Apabila kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku.
2. Apabila kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip.
3. Apabila kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul.

Mengidentifikasi Sebuah Segitiga Siku-siku

Pada gambar di atas, sisi miring (hypotenusa) disingkat sebagai (SM), sisi alas disingkat sebagai (SA), serta sisi tegak disingkat sebagai (ST).

Dalam gambar di atas, terlihat bahwa SISI MIRING ADALAH SISI TERPANJANG PADA SEBUAH SEGITIGA, LETAKNYA BERADA TEPAT DI DEPAN SUDUT SIKU-SIKU SEGITIGA TERSEBUT.

Jadi disebut sisi miring BUKAN KARENA POSISINYA MIRING. 🙂

Sudut siku-siku pada segitiga digambarkan seperti sebuah kotak kecil di dalamnya.

Besar sudut siku-siku adalah $90^{\circ}$

Mengapa kita butuh memperhatikan dan memahami bentuk sebuah segitiga siku-siku?

Agar saat segitiga siku-siku nya di balik atau diganti namanya, kita tidak akan mengalami kesulitan dalam menerapkan teorema phytagoras.

Sebagai contoh, perhatikan baik-baik gambar di bawah ini:

Walaupun segitiga siku-siku tersebut sudah kita balik, kita tetap mampu mengidentifikasi sisi miring, sisi alas, dan sisi tegaknya.

Pada gambar di atas sisi miring yaitu sisi $r$, sisi alasnya yaitu sisi $p$, serta sisi tegaknya yaitu sisi $q$.

Coba perhatikan gambar berikut ini. Tahukah kamu mana sisi miringnya?

Pada segitiga ABC, sisi miringnya adalah sisi : ….

Pada segitiga DEF, sisi miringnya adalah sisi : …

Pada segitiga HIJ, sisi miringnya adalah sisi : …

Pada segitiga A’B’C’, sisi miringnya adalah sisi : …

Rumus Teorema Pythagoras

Rumus Phytagoras pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan yang berasal dari Yunani bernama Phytagoras.

Adapun bunyi atau dalil Teorema Phytagoras yaitu sebagai berikut:

Pada suatu segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miring sama dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi penyikunya (sisi lainnya).

Penerapan Teorema Phytagoras pada Segitiga

Sebagai contoh, diketahui sebuah segitiga dengan siku-siku di B.

Sisi miring (hipotenusa) yaitu AC (sisi $b$, terletak di depan sudut B)
Dua sisi penyikunya (sisi selain sisi miring) adalah AB (sisi $c$, terletak di depan sudut C) dan BC (sisi $a$, terletak di depan sudut A)

Teorema Phytagoras pada gambar di atas dapat kita rumuskan seperti berikut ini:

Rumus Phytagoras

$b^2 = c^2 + a^2$

Atau bisa dibalik $b^2 = a^2 + c^2$, tidak masalah … Sama saja …

Keterangan:

$b$ = sisi miring
$a$ = tinggi
$c$ = alas

Ingat! Pada suatu segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miring ($b^2$) sama dengan hasil jumlah dari kuadrat sisi-sisi lainnya ($a$ dan $c$).

Rumus Phytagoras pada umumnya dipakai dalam mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku seperti berikut ini:

Kuadrat sisi AC = kuadrat sisi AB + kuadrat sisi BC.
Atau ditulis $AC^2 = AB^2 + BC^2$
Atau ditulis $b^2 = c^2 + a^2$

Rumus untuk mencari sisi miring segitiga siku-siku yaitu:

$b^2 = c^2 + a^2$

Rumus untuk mencari panjang sisi alas yaitu:

$c^2 = b^2 – a^2$

Rumus untuk mencari sisi samping atau tinggi segitiga yaitu:

$a^2 = b^2 – c^2$

Note :

Jika yang dicari sisi miring, tandanya +.
Jika yang dicari BUKAN sisi miring, tandanya -.

Menentukan Panjang Sisi Segitiga Siku-Siku

Selanjutnya, kita akan menggunakan rumus Phytagoras untuk menentukan panjang sisi dari suatu segitiga siku-siku.

Contoh 1 :

Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di B yang digambarkan sebagai berikut:

Tentukan panjang sisi miring AC pada gambar di atas!

Jawab:

Segitiga ABC di atas adalah segitiga siku-siku, maka berlaku teorema phytagoras.

Perhatikan!

Sisi miring = $AC$
Sisi alas = $AB$
Sisi tegak = $BC$

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat 2 sisi lain
Kuadrat sisi miring = kuadrat sisi alas + kuadrat sisi tegak
$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Dengan rumus phytagoras kita tulis :

$\begin{aligned}AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\ AC &= \sqrt{AB^2+BC^2} \\ &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &=\sqrt{64+36} \\ &= \sqrt{100} \\ & = 10 \end{aligned}$

Sehingga, panjang sisi AC dalam segitiga siku-siku tersebut yaitu 10 cm.

Ingat! Pada bentuk pangkat berlaku aturan $AC^2 = x$, maka berlaku $AC = \sqrt{x}$

Contoh 2 :

Suatu segitiga siku-siku KLM dengan siku-siku di L digambarkan seperti di bawah ini:

Tentukan panjang sisi $KL$ pada gambar di atas!

Jawab:

Segitiga di atas adalah segitiga siku-siku, maka berlaku rumus Phytagoras.

Perhatikan!

Sisi miring = $KM$
Sisi alas = $LM$
Sisi tegak = $KL$

Kuadrat sisi miring = kuadrat sisi tegak + kuadrat sisi alas

Tapi karena yang dicari adalah sisi tegak, maka tanda pada rumusnya berubah menjadi DIKURANG.

Kuadrat sisi tegak = kuadrat sisi miring – kuadrat sisi alas
$KL^2 = KM^2 – LM^2$

Dengan rumus phytagoras kita tulis :

$\begin{aligned}KM^2 &= KL^2 + LM^2 \\ KL^2 &= KM^2 – LM^2 \\ KL &= \sqrt{KM^2-LM^2} \\ &= \sqrt{13^2-12^2} \\ &=\sqrt{169-144} \\ &= \sqrt{25} \\ & = 5 \end{aligned}$

Sehingga, panjang sisi $KL$ dalam segitiga siku-siku di atas yaitu $5$ cm.

---

Contoh 3 :

Diketahui segitiga siku-siku DEF dengan siku-siku di E digambarkan seperti di bawah ini:

Tentukan panjang sisi DE pada gambar di atas!

Jawab:

Segitiga DEF di atas merupakan segitiga siku-siku!

Perhatikan!

Sisi miring = $DF$
Sisi alas = $EF$
Sisi tegak = $ED$

Karena yang dicari adalah sisi tegak, maka tanda di rumus menjadi DIKURANGI!

Kuadrat sisi tegak = kuadrat sisi miring – kuadrat sisi alas
$DE^2 = DF^2 – EF^2$

Kita tulis :

$\begin{aligned}DF^2 &= DE^2 + EF^2 \\ DE^2 &= DF^2 – EF^2 \\ DE &= \sqrt{DF^2-EF^2} \\ &= \sqrt{15^2-9^2} \\ &=\sqrt{225-81} \\ &= \sqrt{144} \\ & = 12 \end{aligned}$

Sehingga, panjang sisi $DE$ pada segitiga siku-siku di atas yaitu $12$ cm.

---

Contoh 4 :

Diketahui segitiga siku-siku $ABC$ dengan siku-siku berada di $B$. Apabila panjang sisi $AB = 16$ cm serta Panjang sisi $BC = 12$ cm.

Maka hitunglah panjang sisi $AC$ pada segitoga di atas!

Jawab:

Dari soal di atas bisa kiat gambarkan sebuah segitiga siku-siku seperti berikut ini:

Perhatikan!

Sisi miring = $c$
Sisi alas = $b$
Sisi tegak = $a$

Karena yang dicari adalah sisi miring, maka berlaku rumus Phytagoras pada segitiga siku-siku tersebut :

$\begin{aligned}c^2 &= a^2 + b^2 \\ c &= \sqrt{a^2+b^2} \\ &= \sqrt{12^2+16^2} \\ &=\sqrt{144+256} \\ &= \sqrt{400} \\ & = 20 \end{aligned}$

Sehingga, panjang sisi $AC$ pada segitiga siku-siku ABC dalam soal di atas yaitu $20$ cm.

---

Latihan!

Kerjakan latihan ini di buku catatanmu!

Gunakan teorema phytagoras yang telah kamu pelajari sebelumnya untuk menyelesaikan masalah berikut ini!

Tentukanlah panjang sisi yang belum diketahui pada segitiga siku-siku berikut ini!

Nomor 1 :

Nomor 2 :

Nomor 3 :

Nomor 4 :

Nomor 5 :

Nomor 6 :

Nomor 7 :

Nomor 8

Ada pertanyaan? Silakan tulis juga di kolom komentar. Monggo.

Sumber : https://www.yuksinau.id/teorema-phytagoras/