Berikut ini adalah kisi-kisi soal pada Penilaian Akhir Tahun (PAT) Kelas XI SMAN 4 Luwu Utara untuk mata pelajaran Matematika Wajib. Diantara sekian banyak prediksi, hanya 9 nomor yang sempat saya bahas. Semoga bermanfaat yah …
Nomor 1
Tentukan nilai dari $\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10} = \cdots$
Jawab :
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10} &= \displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{(x-1)\cancel{\textcolor{red}{(x-5)}}}{(x+2)\cancel{\textcolor{red}{(x-5)}}} \\ &= \lim_{x \to 5}\frac{x-1}{x+2} \\ &= \frac{5-1}{5+2} \\ &= \frac{4}{7} \end{aligned}$
Jadi $\displaystyle \lim_{x \to 5}\frac{x^2-6x+5}{x^2-3x-10} = \frac{4}{7}$
Nomor 2
Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2(x-3)^2}{x^2-6x+8}=\cdots$
Jawab :
Dengan melakukan subtitusi nilai $x=1$ kita dapat menentukan nilai limit tersebut sebagai berikut :
$\begin{aligned}\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2(x-3)^2}{x^2-6x+8} &= \frac{2(1-3)^2}{1^2-6(1)+8} \\ &= \frac{2(-2)^2}{1-6+8} \\ &= \frac{2(4)}{3} \\ &= \frac{8}{3} \end{aligned}$
Nomor 3
Turunan pertama dari $f(x)=\frac{4x^2}{x^3}$ adalah ….
Jawab :
$f(x)=\frac{4x^2}{x^3}$
Misalkan,
$u(x)=4x^2 \to u'(x)=2.4.x^{2-1}=8x$
$v(x)=x^3 \to v'(x)=3.1.x^{3-1}=3x^2$
Lanjut
$f(x)=\frac{4x^2}{x^3}$
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{8x.x^3-4x^2.3x^2}{(x^3)^2} \\ &= \frac{8x^4 -12x^4}{x^6} \\ &= \frac{-4x^4}{x^6} \\ &= -4x^4.x^{-6} \\ &= -4x^{4+(-6)} \\ &=-4x^{-2}\end{aligned}$
$\therefore f(x)=\frac{4x^2}{x^3} \to f'(x) = -4x^{-2}$
Nomor 4
Turunan pertama dari $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ adalah ….
Jawab :
$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$
Misalkan,
$u(x)=x \to u'(x)=1$
$v(x)=x^2+1 \to v'(x)=2x$
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{u'(x).v(x)-u(x).v'(x)}{[v(x)]^2} \\ &= \frac{1.(x^2+1)-x(2x)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2} \\&= \frac{x^2-2x^2+1}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\end{aligned}$
Nomor 5
Fungsi $f$ yang dirumuskan dengan $f(x)=2x^3+3x^2-36x+5$ naik pada interval ….
Jawab :
Syarat fungsi naik yaitu jika $f'(x)>0$
Ingat kembali rumus turunan, yaitu :
$\boxed{f(x)=\textcolor{red}{a}x^\textcolor{blue}{n} \to f'(x) = \textcolor{blue}{n}.\textcolor{red}{a}.x^\textcolor{blue}{n-1}}$
$f(x)=2x^3+3x^2-36x+5$
$f'(x) = 6x^2+6x-36$
Untuk syarat naik, maka
$\begin{aligned}f'(x)&>0 \\ 6x^2+6x-36 &>0 \to {:6} \\ x^2+x-6 &>0 \\ (x-2)(x+3) &>0 \\ x = 2 \lor x &=-3 \end{aligned}$
Kita lakukan pengujian pada garis bilangan untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian (Baca cara menentukan daerah himpunan penyelesaian di artikel ini >> https://bdr.masbied.com/bdr-genap-kelas-xi/2523/xi-7-4-turunan-bentuk-pembagian/ )
Kita menemukan bahwa fungsi $f(x)=2x^3+3x^2-36x+5$ naik pada interval $x<-3$ atau $x>2$
Nomor 6
Hasil dari $\int (2x+3)(x^2+3x+3)^3 dx = \cdots$
Jawab :
$\int (2x+3)(\textcolor{blue}{x^2+3x+3})^3 dx = \cdots$
Misalkan :
$\begin{aligned} u&=\textcolor{blue}{x^2+3x+3} \\ \frac {du}{dx}&=2x+3 \\ dx &=\frac{du}{2x+3} \end{aligned}$
Selanjutnya :
$\begin{aligned}&\int (2x+3)(x^2+3x+3)^3 dx \\&= \int \cancel{\textcolor{red}{(2x+3)}}.u^3.\frac{du}{\cancel{\textcolor{red}{2x+3}}} \\ &= \int u^3 du \\ &= \frac{1}{4}u^4+C \\ &= \frac{1}{4}(x^2+3x+3)+C \end{aligned}$
Nomor 7
Hasil dari $\int (1-2x^3) dx = \cdots$
Jawab :
Untuk menentukan hasil dari $\int (1-2x^3) dx$ kita dapat menggunakan rumus integral yakni :
$\boxed{\int \textcolor{green}{a}x^\textcolor{red}{n}dx=\frac{\textcolor{green}{a}}{\textcolor{red}{n}+1}x^{\textcolor{red}{n}+1}+C}$
Sehingga
$\begin{aligned}\int (1-2x^3) dx &= \int 1 dx – \int 2x^3 dx \\ &= \frac{1}{1}x^{1} – \int \frac{2}{4}x^{4} + C \\ &= x – \frac {1}{2}x^4 + C \end{aligned}$
Nomor 8
Turunan fungsi $F$ adalah $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=3x^2-4x$. Apabila ditentukan $F(-1)=0$, maka $F(x)=\cdots$
Jawab :
Diketahui turunan fungsi $f(x)=3x^2-4x$ dan nilai fungsi $f(-1)=0$.
Integral merupakan anti turunan, maka fungsi $f(x)$ dapat dicari dengan mengintegralkan fungsinya.
$\begin{aligned} F(x) &= \int f(x) \\ &= \int (3x^2-4x) dx \\ &= \int 3x^2 dx – \int 4x dx \\ &= \frac{3}{2+1}x^{2+1} – \frac {4}{1+1}x^{1+1} + C \\ &= \frac{3}{3}x^3 – \frac{4}{2}x^{2} + C \\ &= x^3 – 2x^2 + C \end{aligned}$
Untuk mengetahui nilai $C$-nya, maka kita subtitusikan $F(-1)=0$ pada $x^3 – 2x^2 + C$, menjadi :
$\begin{aligned}F(-1)&=0 \to {x^3 – 2x^2 + C; x = (-1)} \\ (-1)^3-2(-1)^2 + C &= 0 \\ (-1)-2(1) + C &= 0 \\ (-1)-2 + C &= 0 \\ (-3) + C &= 0 \\ C &= 0 + 3 \\ C &= 3 \end{aligned}$
Jadi nilai $F(x) = x^3 – 2x^2 + 3$
Nomor 9
Suatu fungsi $f'(x)=2x+3$ dan $f(0)=6$, maka $f(x)=\cdots$
Jawab :
Diketahui turunan fungsi $f'(x)=2x+3$ dan nilai fungsi $f(0)=6$.
Integral merupakan anti turunan, maka fungsi $f(x)$ dapat dicari dengan mengintegralkan fungsinya.
$\begin{aligned}f(x)&= \int f'(x) dx \\ &=\int (2x+3) dx \\ &= x^2+3x + C \end{aligned}$
Then …
$\begin{aligned}f(0)&= 6 \\ 0^2+3.0+C &=6 \\ C &= 6 \end{aligned}$
Didapatkan konstanta $C=6$, dengan demikian $f(x)$ yaitu $f(x)=x^2+3x+6$
Nomor 10
Nilai $f(x)$ jika $f'(x)=2x+1$ dan $f(0)=3$ adalah ….
Lanjut terus …
- Turunan fungsi $F$ adalah $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=2x^3-4x+6$. Apabila ditentukan $F(-1)=0$, maka $f(x)=\cdots$
- Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2(x+3)^2}{x^2+6x+15}=\cdots$
- $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x^2+3x-4}=\cdots$
- Fungsi $f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x-2}$ turun pada interval ….
- Fungsi $f(x)=\frac{x^2-2x+4}{x-2}$ naik pada interval ….
- Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^2-4}=\cdots$
- Hasil dari $\int \frac{x^2-3}{\sqrt{x}} dx =\cdots$
- Hasil penjualan $x$ buah barang dinyatakan oleh fungsi $P(x)=90x-3x^2$ (dalam ribuan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang diperoleh adalah ….
- Jika $f(x)=3x^2-10x$, nilai dari $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\cdots$
- Nilai $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^3+3x^2-5x}{x^2+x}=\cdots$
- Turunan pertama dari $f(x)=(1-x)^2(3x+2)$ adalah ….
- Hasil dari $\int (2x^3-5x+4) dx = \cdots$
- Hasil dari $\int 2\sqrt{x}dx = \cdots$
- Koordinat titik balik maksimum fungsi $f(x)=x^3-2x^2-9x$ adalah ….
- Nilai $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(3x-1)^2)(x-1)^2}{x^2(x^2+3)}=\cdots$
- $\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{3-x}{x-\sqrt{6x-9}}=\cdots$