1. UN 2008
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah …
A. 8√3
B. 8√2
C. 4√6
D. 4√3
E. 4√2
Pembahasan :
Jarak titik H ke garis AC adalah OH.
rusuk = a = 8
OH = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = \(\frac{8}{2}\)√6 = 4√6
Jawaban : C
2. UN 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B ke garis PQ adalah …
A. √22 cm
B. √21 cm
C. 2√5 cm
D. √19 cm
E. 3√2 cm
Pembahasan :
Jarak titik B ke garis PQ adalah BR.
rusuk = a = 4
BP = BQ = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = \(\frac{4}{2}\)√6 = 2√6
PQ = \(\mathrm{\sqrt{PS^{2}+SQ^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}}\)
BPQ sama kaki sehingga :
PR = RQ = \(\frac{1}{2}\)PQ = \(\frac{1}{2}\)(2√2) = √2
Perhatikan segitiga BPR siku-siku di R
BR = \(\mathrm{\sqrt{BP^{2}-PR^{2}}}\)
BR = \(\mathrm{\sqrt{\left (2\sqrt{6} \right )^{2}-\left ( \sqrt{2} \right )^{2}}}\)
BR = \(\mathrm{\sqrt{22}}\)
Jawaban : A
3. UN 2011
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …
A. 4√6 cm
B. 4√5 cm
C. 4√3 cm
D. 4√2 cm
E. 4 cm
Pembahasan :
Jarak titik M ke garis AG adalah MO
a = 8
Perhatikan bahwa garis MN dan AG berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik O, sehingga
MO = \(\frac{1}{2}\). MN
MO = \(\frac{1}{2}\). a√2
MO = \(\frac{1}{2}\). 8√2
MO = 4√2
Jawaban : D
4. UN 2007
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6√3 cm. Jarak Bidang ACH dan EGB adalah …
A. 4√3 cm
B. 2√3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
E. 12 cm
Pembahasan :
Jarak bidang ACH dan EGB = jarak garis OH dan BR = jarak titik P dan Q ⇒ PQ.
rusuk = a = 6√3
OH = BR = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = 9√2
OR = a = 6√3
HF = a√2 = 6√6
HR = \(\frac{1}{2}\) × HF = 3√6
DF = a√3 = 18
Perhatikan bidang BDHF
OHRB adalah jajar genjang dengan alas OH dan tinggi PQ
Ingat : luas jajar genjang \(\mathrm{=alas\times tinggi}\)
Luas jajar genjang OHRB = 2 × luas ⊿ OHR
OH × PQ = 2 × \(\frac{1}{2}\)×HR×OR
OH × PQ = HR × OR
9√2 × PQ = 3√6 × 6√3
⇒ PQ = 6
atau
DP = PQ = QF = \(\frac{1}{3}\) × DF
DP = PQ = QF = \(\frac{1}{3}\) × 18
⇒ PQ = 6
Jawaban : D
5. UN 2009
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus adalah 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah …
A. 6√2 cm
B. 9√2 cm
C. 12√2 cm
D. 16√2 cm
E. 18√2 cm
Pembahasan :
Jarak titik P ke bidang BDHF = jarak titik P ke garis BD ⇒ PQ.
rusuk = a = 12
CP : DP = 1 : 3 ⇒ DC : CP = 2 : 1
DC = 12 ⇒ CP = 6
DP = DC + CP = 12 + 6 =18
BD = a√2 = 12√2
Perhatikan segitiga BDP
Dengan menggunakan rumus luas segitiga diperoleh :
\(\frac{1}{2}\) × BD × PQ = \(\frac{1}{2}\) × DP × BC
BD × PQ = DP × BC
12√2 × PQ = 18 × 12
⇒ PQ = 9√2
Jawaban : B
6. UN 2012
Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah …
A. \(\frac{2}{3}\)√3 cm
B. \(\frac{4}{3}\)√3 cm
C. \(\frac{11}{3}\)√3 cm
D. \(\frac{8}{3}\)√3 cm
E. \(\frac{13}{3}\)√3 cm
Pembahasan :
Jarak titik H ke bidang ACF = jarak titik H ke garis OF = jarak titik H ke titik P ⇒ HP.
rusuk = a = 4
OF = OH = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = 2√6
FH = a√2 = 4√2
OQ = a = 4
Perhatikan segitiga OFH
HP dan OQ merupakan garis tinggi, sehingga dengan menggunakan rumus luas segitiga akan diperoleh persamaan sebagai berikut ;
\(\frac{1}{2}\)×OF×HP = \(\frac{1}{2}\)×FH×OQ
OF × HP = FH × OQ
2√6 × HP = 4√2 × 4
⇒ HP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\)√3
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) × HB
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) × a√3
HP = \(\mathrm{\frac{2}{3}}\) × 4√3
HP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\)√3
Jawaban : D
7. UN 2013
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke CE adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)√3 cm
B. \(\frac{1}{2}\)√6 cm
C. 3√3 cm
D. 2√6 cm
E. 4√6 cm
Pembahasan :
Jarak B ke CE adalah BP
a = 6
BC = a = 6
BE = a√2 = 6√2
CE = a√3 = 6√3
Perhatikan Δ BCE siku-siku di B
BP = \(\mathrm{\frac{BC\times BE}{CE}}\)
BP = \(\mathrm{\frac{6\times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}}\)
BP = 2√6
Jawaban : D
8. UN 2014
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = …
A. \(\frac{1}{14}\)√14 cm
B. \(\frac{2}{3}\)√14 cm
C. \(\frac{3}{4}\)√14 cm
D. \(\frac{4}{3}\)√14 cm
E. \(\frac{3}{2}\)√14 cm
Pembahasan :
Jarak C ke AT adalah CP
AT = CT = 6
AC = 4√2
Perhatikan Δ ACT
AP = \(\mathrm{\frac{AT^{2}+AC^{2}-CT^{2}}{2\times AT}}\)
AP = \(\mathrm{\frac{6^{2}+\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-6^{2}}{2\times 6}}\)
AP = \(\mathrm{\frac{8}{3}}\)
Perhatikan Δ APC siku-siku di P
CP = \(\mathrm{\sqrt{AC^{2}-AP^{2}}}\)
CP = \(\mathrm{\sqrt{\left ( 4\sqrt{2} \right )^{2}-\left ( \frac{8}{3} \right )^{2}}}\)
CP = \(\mathrm{\frac{4}{3}\sqrt{14}}\)
Jawaban : D
9. UN 2004
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah … cm.
A. 2√3
B. 4
C. 3√2
D. 2√6
E. 6
Pembahasan :
Jarak DH ke AS adalah HS, karena HS tegak lurus terhadap DH dan AS.
rusuk = a = 6
HF = a√2 = 6√2
HS = \(\frac{1}{2}\). HF
HS = \(\frac{1}{2}\). 6√2
HS = 3√2
Jawaban : C
10. UN 2007
Diketahui sebuah kubus ABCD. EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan BDHF adalah …
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
E. 15°
Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh BG dengan BDHF adalah β.
rusuk = a
BG = EG = a√2
PG = \(\frac{1}{2}\) × EG = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√2
Perhatikan Δ BPG siku-siku di P
sin β = \(\mathrm{\frac{PG}{BG}}\) = \(\mathrm{\frac{\frac{a}{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
Karena sin β = \(\frac{1}{2}\), maka β = 30°
Jawaban : D
11. UN 2008
Diketahui kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α, maka sin α adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)√3
B. \(\frac{1}{2}\)√2
C. \(\frac{1}{3}\)√3
D. \(\frac{1}{2}\)E. \(\frac{1}{3}\)√2
Pembahasan :
Sudut antara AG dengan bidang alas ABCD adalah α.
rusuk = a = 6
CG = a = 6
AG = a√3 = 6√3
Perhatikan Δ ACG siku-siku di C
sin α = \(\mathrm{\frac{CG}{AG}}\) = \(\mathrm{\frac{6}{6\sqrt{3}}}\) = \(\frac{1}{3}\)√3
Jawaban : C
12. UN 2009
Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q terletak pada EG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan α adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)√5
B. \(\frac{1}{10}\)√10
C. \(\frac{1}{2}\)√10
D. \(\frac{1}{7}\)√14
E. \(\frac{1}{7}\)√35
Pembahasan :
Sudut antara PQ dengan ABCD adalah α.
QR = 5
PS = 3
BS = SR = RC = 1
PR = \(\mathrm{\sqrt{PS^{2}+SR^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}}\)
PR = \(\mathrm{\sqrt{10}}\)
Perhatikan Δ PQR siku-siku di R
tan α = \(\mathrm{\frac{QR}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{5}{\sqrt{10}}}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{10}\)
Jawaban : C
13. UN 2012
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah …
A. \(\frac{1}{3}\)√3
B. √2
C. √3
D. 2√2
E. 2√3
Pembahasan :
Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah θ.
QR = RS = ST = QT = 3
PQ = PR = PS = PT = 3√2
RT = a√2 = 3√2
Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena
PR = RT = PT = 3√2
sehingga θ = 60°
tan θ = tan 60° = √3
Jawaban : C
14. UN 2013
Pada kubus ABCD. EFGH sudut θ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin θ adalah …
A. \(\frac{1}{4}\)√3
B. \(\frac{1}{2}\)√3
C. \(\frac{1}{3}\)√6
D. \(\frac{1}{2}\)√2
E. \(\frac{1}{3}\)√3
Pembahasan :
Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah θ.
misalkan rusuk = a
AE = a
EO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6
Perhatikan Δ AOE siku-siku di A
sin θ = \(\mathrm{\frac{AE}{EO}}\) =\(\mathrm{\frac{a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{6}}\) = \(\frac{1}{3}\)√6
Jawaban : C
15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)√2
B. \(\frac{1}{2}\)√3
C. \(\frac{1}{3}\)√3
D. \(\frac{2}{3}\)√2
E. \(\frac{3}{4}\)√3
Pembahasan :
Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α
rusuk = a = 4
EG = a√2 = 4√2
EO = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) × EG = 2√2
AO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = 2√6
Perhatikan Δ AEO siku-siku di E
sin α = \(\mathrm{\frac{EO}{AO}}\) = \(\mathrm{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\) = \(\frac{1}{3}\)√3
Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah θ.
QR = RS = ST = QT = 3
PQ = PR = PS = PT = 3√2
RT = a√2 = 3√2
Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena
PR = RT = PT = 3√2
sehingga θ = 60°
tan θ = tan 60° = √3
Jawaban : C
14. UN 2013
Pada kubus ABCD. EFGH sudut θ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin θ adalah …
A. \(\frac{1}{4}\)√3
B. \(\frac{1}{2}\)√3
C. \(\frac{1}{3}\)√6
D. \(\frac{1}{2}\)√2
E. \(\frac{1}{3}\)√3
Pembahasan :
Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah θ.
misalkan rusuk = a
AE = a
EO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6
Perhatikan Δ AOE siku-siku di A
sin θ = \(\mathrm{\frac{AE}{EO}}\) =\(\mathrm{\frac{a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{6}}\) = \(\frac{1}{3}\)√6
Jawaban : C
15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah …
A. \(\frac{1}{2}\)√2
B. \(\frac{1}{2}\)√3
C. \(\frac{1}{3}\)√3
D. \(\frac{2}{3}\)√2
E. \(\frac{3}{4}\)√3
Pembahasan :
Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α
rusuk = a = 4
EG = a√2 = 4√2
EO = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\) × EG = 2√2
AO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = 2√6
Perhatikan Δ AEO siku-siku di E
sin α = \(\mathrm{\frac{EO}{AO}}\) = \(\mathrm{\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\) = \(\frac{1}{3}\)√3
Jawaban : C
16. UN 2007
Diketahui bidang 4 beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah …
A. \(\frac{1}{3}\)
16. UN 2007
Diketahui bidang 4 beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah …
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\frac{1}{3}\)√3
D. \(\frac{2}{3}\)
E. \(\frac{1}{2}\)√3
Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah θ.
Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi.
rusuk (a) = 8
DC = a = 8
PC = PD = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√3 = 4√3
Perhatikan Δ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh :
cos θ = \(\mathrm{\frac{PC^{2}+PD^{2}-DC^{2}}{2\times PC\times PD}}\)
cos θ = \(\mathrm{\frac{\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}-8^{2}}{2\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}}\)
cos θ = \(\frac{1}{3}\)
Jawaban : A
17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah…
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)√2
C. \(\frac{2}{3}\)√2
D. √2
E. 2√2
Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah θ.
Perhatikan segitiga ACP
AP = CP = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = \(\frac{12}{2}\)√6 = 6√6
AC = a√2 = 12√2
Dengan aturan cosinus
Cos θ = \(\mathrm{\frac{AP^{2}+CP^{2}-AC^{2}}{2\,.\,AP\,.\,CP}}\)
Cos θ = \(\mathrm{\frac{(6\sqrt{6})^{2}+(6\sqrt{6})^{2}-(12\sqrt{2})^{2}}{2\,.\,6\sqrt{6}\,.\,6\sqrt{6}}}\)
Cos θ = \(\frac{216+216-288}{432}\)
Cos θ = \(\frac{1}{3}\)
Cos θ = \(\frac{1}{3}\)
sisi samping = 1
sisi miring = 3
sisi depan = \(\sqrt{3^{2}-1^{2}}\) = √8 = 2√2
tan θ = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{1}\) = 2√2
Jadi, tangen sudut antara bidang AFH dan CFH adalah 2√2.
Jawaban : E
C. \(\frac{1}{3}\)√3
D. \(\frac{2}{3}\)
E. \(\frac{1}{2}\)√3
Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah θ.
Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi.
rusuk (a) = 8
DC = a = 8
PC = PD = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√3 = 4√3
Perhatikan Δ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh :
cos θ = \(\mathrm{\frac{PC^{2}+PD^{2}-DC^{2}}{2\times PC\times PD}}\)
cos θ = \(\mathrm{\frac{\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}+\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}-8^{2}}{2\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}}\)
cos θ = \(\frac{1}{3}\)
Jawaban : A
17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah…
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{2}\)√2
C. \(\frac{2}{3}\)√2
D. √2
E. 2√2
Pembahasan :
Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah θ.
Perhatikan segitiga ACP
AP = CP = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = \(\frac{12}{2}\)√6 = 6√6
AC = a√2 = 12√2
Dengan aturan cosinus
Cos θ = \(\mathrm{\frac{AP^{2}+CP^{2}-AC^{2}}{2\,.\,AP\,.\,CP}}\)
Cos θ = \(\mathrm{\frac{(6\sqrt{6})^{2}+(6\sqrt{6})^{2}-(12\sqrt{2})^{2}}{2\,.\,6\sqrt{6}\,.\,6\sqrt{6}}}\)
Cos θ = \(\frac{216+216-288}{432}\)
Cos θ = \(\frac{1}{3}\)
Cos θ = \(\frac{1}{3}\)
sisi samping = 1
sisi miring = 3
sisi depan = \(\sqrt{3^{2}-1^{2}}\) = √8 = 2√2
tan θ = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{1}\) = 2√2
Jadi, tangen sudut antara bidang AFH dan CFH adalah 2√2.
Jawaban : E
18. UN 2015
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan…
A. \(\frac{4}{5}\)√30 cm
B. \(\frac{2}{3}\)√30 cm
C. 2√5 cm
D. 2√3 cm
E. 2√2 cm
Pembahasan :
CM = EM = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√5 = \(\frac{4}{2}\)√5 = 2√5
CE = a√3 = 4√3
MN = a√2 = 4√2
Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka
MQ = \(\frac{1}{2}\)×MN = 2√2
Perhatikan segitiga CEM, ∠M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP.
Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
\(\frac{1}{2}\)×CM×EP = \(\frac{1}{2}\)×CE×MQ
CM × EP = CE × MQ
2√5 × EP = 4√3 × 2√2 (kali √5)
10 × EP = 8√30
EP = \(\frac{4}{5}\)√30
Jawaban : A
RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM.
CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 (C)
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan…
A. \(\frac{4}{5}\)√30 cm
B. \(\frac{2}{3}\)√30 cm
C. 2√5 cm
D. 2√3 cm
E. 2√2 cm
Pembahasan :
CM = EM = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√5 = \(\frac{4}{2}\)√5 = 2√5
CE = a√3 = 4√3
MN = a√2 = 4√2
Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka
MQ = \(\frac{1}{2}\)×MN = 2√2
Perhatikan segitiga CEM, ∠M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP.
Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
\(\frac{1}{2}\)×CM×EP = \(\frac{1}{2}\)×CE×MQ
CM × EP = CE × MQ
2√5 × EP = 4√3 × 2√2 (kali √5)
10 × EP = 8√30
EP = \(\frac{4}{5}\)√30
Jawaban : A
RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM.
CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 (C)
19. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah…
A. \(\frac{8}{3}\)√2 cm
B. \(\frac{8}{3}\)√3 cm
C. \(\frac{8}{3}\)√6 cm
D. \(\frac{10}{3}\)√6 cm
E. 4√6 cm
Pembahasan :
Jarak titik E ke garis FD adalah EP.
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah…
A. \(\frac{8}{3}\)√2 cm
B. \(\frac{8}{3}\)√3 cm
C. \(\frac{8}{3}\)√6 cm
D. \(\frac{10}{3}\)√6 cm
E. 4√6 cm
Pembahasan :
Jarak titik E ke garis FD adalah EP.
Perhatikan segitiga DEF siku-siku di E
EF = 8
DE = 8√2
DF = 8√3
EP = \(\mathrm{\frac{DE \times EF}{DF}}\)
EP = \(\mathrm{\frac{8\sqrt{2} \times 8}{8\sqrt{3}}}\)
EP = \(\frac{8}{3}\)√6
Jawaban : C
20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah…
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)√3
C. \(\frac{1}{2}\)√2
D. \(\frac{1}{2}\)√3
E. \(\frac{1}{3}\)√6
Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah θ.
rusuk = a = 16 cm
AH = AC = a√2 = 16√2
AP = \(\frac{1}{2}\)×AC = 8√2
Perhatikan Δ AHP siku-siku di P
sin θ = \(\mathrm{\frac{AP}{AH}}\) = \(\mathrm{\frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
EF = 8
DE = 8√2
DF = 8√3
EP = \(\mathrm{\frac{DE \times EF}{DF}}\)
EP = \(\mathrm{\frac{8\sqrt{2} \times 8}{8\sqrt{3}}}\)
EP = \(\frac{8}{3}\)√6
Jawaban : C
20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah…
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)√3
C. \(\frac{1}{2}\)√2
D. \(\frac{1}{2}\)√3
E. \(\frac{1}{3}\)√6
Pembahasan :
Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah θ.
rusuk = a = 16 cm
AH = AC = a√2 = 16√2
AP = \(\frac{1}{2}\)×AC = 8√2
Perhatikan Δ AHP siku-siku di P
sin θ = \(\mathrm{\frac{AP}{AH}}\) = \(\mathrm{\frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}}\) = \(\frac{1}{2}\)
Jawaban : A
UPDATE 21/10/17
Untuk Ujian Nasional matematika IPA tahun 2017, materi dimensi tiga dikeluarkan sebanyak 4 soal dalam satu paket.21. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin α = …
A. 1/2
B. 1/3 √3
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 2/3 √2
Pembahasan :
AC = a√2 = 6√2
AP = \(\frac{1}{2}\). AC = 3√2
AO = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = 3√6
Perhatikan segitiga AOP siku-siku di P.
sin α = \(\mathrm{\frac{AP}{AO}}\) = \(\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\) = \(\frac{1}{3}\)√3
Jawaban : B
22. UN 2017
Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuknya 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah …
A. 2√2 cm
B. 2√3 cm
C. 3√2 cm
D. 3√3 cm
E. 4√3 cm
Pembahasan :
Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT.
SM = \(\frac{1}{2}\). KM = 3√2
MQ = 6
SQ = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = 3√6
Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring.
Jadi, MT = \(\mathrm{\frac{SM \,\cdot \,MQ}{SQ}}\) = \(\mathrm{\frac{6\, \cdot \,3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}}\) = 2√3
atau
MT = \(\frac{1}{3}\). MO = \(\frac{1}{3}\). 6√3 = 2√3
Jawaban : B
23. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas 4 cm. Jarak titik A ke TB adalah …
A. 2√2 cm
B. 2√3 cm
C. 4 cm
D. 4√2 cm
E. 4√3 cm
Pembahasan :
Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP.
Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√3.
Jadi, jarak titik A ke TB adalah
AP = \(\mathrm{\frac{4}{2}}\)√3 = 2√3
Jawaban : B
24. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6√2 cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah …
A. 2√2 cm
B. 2√3 cm
C. 3√2 cm
D. 3√3 cm
E. 3√6 cm
Pembahasan :
Jarak titik A ke TC adalah AP.
AC = a√2 = 6√2
Karena AC = TC = AT, maka ACT adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6√2.
Jadi, AP = \(\mathrm{\frac{6\sqrt{2}}{2}}\)√3 = 3√6
Jawaban : E
25. UN 2017
Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah …
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 90°
Pembahasan :
Misalkan sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah α.
AC = 4√2
AO = \(\frac{1}{2}\). AC = 2√2
AT = 4
Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O.
cos α = \(\mathrm{\frac{AO}{AT}}\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)√2
Karena cos α = \(\frac{1}{2}\)√2 maka α = 45°
Jawaban : C
26. UN 2017
Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF rusuk alasnya 6 cm dan tinggi limas 6√3 cm. Nilai sinus sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah …
A. 1/3 √2
B. 1/2
C. 1/3 √3
D. 1/2 √2
E. 1/2 √3
Pembahasan :
Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah α.
Perhatikan segitiga COT siku-siku di O.
CT = \(\mathrm{\sqrt{\left (CO \right )^{2}+\left (OT \right )^{2}}}\)
CT = \(\mathrm{\sqrt{\left (6 \right )^{2}+\left (6\sqrt{3} \right )^{2}}}\)
CT = 12
sin α = \(\mathrm{\frac{OT}{CT}}\) = \(\frac{6\sqrt{3}}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)√3
atau
tan α = \(\mathrm{\frac{OT}{CO}}\) = \(\frac{6\sqrt{3}}{6}\) = √3
Karena tan α = √3, maka α = 60°
Jadi, sin α = sin 60° = \(\frac{1}{2}\)√3
Jawaban : E
27. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuknya 12 cm dan α adalah sudut antara bidang BDG dan ABCD. Nila sin α adalah …
A. 1/6 √6
B. 1/3 √3
C. 1/2 √2
D. 1/3 √6
E. 1/2 √3
Pembahasan :
CG = a = 12
OG = \(\mathrm{\frac{a}{2}}\)√6 = 6√6
Perhatikan segitiga OCG siku-siku di C.
sin α = \(\mathrm{\frac{CG}{OG}}\) = \(\frac{12}{6\sqrt{6}}\) = \(\frac{1}{3}\)√6
Jawaban : D