XI 5.3 : Deret Aritmetika

Sebelumnya kita sudah membahas tentang Barisan Aritmetika, maka kali ini kita akan membahas tentang Deret Aritmetika.

██████████

Instruksi Cara Belajar :

• Baca lambat-lambat saja. Ini BUKAN Lomba Siapa Cepat Selesai Membaca. INI BELAJAR!!
• Pastikan kamu memahami kalimat yang tertulis, sebelum lanjut ke kalimat berikutnya.
• Baca 1 kalimat, pahami. Baca 1 kalimat, pahami. Jika belum paham, silakan ulangi 2 hingga 3 kali.
• Jika masih belum paham setelah berkali-kali baca, boleh di-lewati, tapi nanti tanyakan.
• Pastikan kamu dapat pengetahuan baru setelah membaca halaman ini. Jika tidak ada pengetahuan baru, berarti ada yang salah dengan cara membacamu.

██████████

5. Deret Aritmetika

Jika $1, 3, 5, 7, 9, \cdots$ disebut sebagai barisan aritmetika, maka kita mengenal penjumlahan $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \cdots$ sebagai Deret Aritmetika.

Jumlah n Suku Pertama

Dalam deret artimetika, jumlah $n$ suku pertama disimbolkan dengan $S_n$.

Misalnya, jumlahkan 6 suku pertama dari deret $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \cdots$

Kita sudah tahu dari deret ini bahwa :

$U_1 = 1$
$U_2 = 3$
$U_3 = 5$
$U_4 = 7$
$U_5 = 9$
$U_6 = 11$

maka untuk menghitung jumlah 6 suku pertamanya, kita tulis :

$\begin{aligned}S_6 &= U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + U_5 + U_6 \\ &= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \\ &= 36 \end{aligned}$

Nah, bagaimana jika kamu diminta untuk menghitung jumlah 100 suku pertama pada deret $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \cdots$ ?

Kita dapat menggunakan rumus untuk menghitung hal tersebut.

Rumus untuk jumlah $n$ suku pertama pada deret aritmetika adalah sebagai berikut :

$\boxed{S_n = \frac{n}{2} (U_1 + U_n)}$

Atau jika $U_n$ tidak dihitung/ tidak diketahui, dapat menggunakan rumus:

$\boxed{S_n = \frac{n}{2} . (2U_1 + (n – 1)b)}$

Contoh 1 :

Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika $6 + 11 + 16 + 21 + \cdots$!

Jawab :

Diketahui :

$U_1 = 6 \to$ $U_1$ atau $a$ adalah suku pertama pada deret.
$b = 11 – 6 = 5 \to$ $b$ adalah Beda, yaitu $U_2 – U_1$
$n = 20$

Ditanyakan :

$S_{20} = \cdots$?

Penyelesaian :

Karena kita tidak mengetahui $U_{20}$ yang diperlukan pada rumus $S_n = \frac{n}{2} (U_1 + U_n)$,

Maka kita akan menggunakan rumus $S_n = \frac{n}{2} . (2U_1 + (n – 1)b)$.

Ganti nilai $U_1 = 6, b = 5, n = 20$ pada rumus menjadi …

$\begin{aligned}S_n &= \frac{n}{2} (2U_1 + (n – 1)b) \\ S_{20} &= \frac{20}{2} . (2(6) + (20 – 1)5) \\ &= 10 . (12 + (19)5) \\ &= 10 . (12 + 95) \\ &= 10 . (107) \\ &= 1.070 \end{aligned}$

Jadi, jumlah $20$ suku pertama pada deret $6 + 11 + 16 + 21 + \cdots$ adalah $1.070$.

6. Barisan Aritmetika Bertingkat

Perhatikan barisan aritmetika berikut

$1, 2, 4, 7, 11, 16, \cdots$

Apakah ini adalah barisan aritmetika?

Jika diamati sepintas, maka beda barisan ini tidak sama.

Tapi coba amati lebih fokus, maka kamu akan temukan hal berikut ini …

Barisan seperti inilah yang disebut sebagai Barisan Aritmetika Bertingkat.

Bagaimana cara menentukan suku ke-$n$ pada barisan ini?

Perhatikan …

$U_1 = 1$
$U_2 = 1 + 1$
$U_3 = 1 + (1 + 2)$
$U_4 = 1 + (1 + 2 + 3)$
$U_5 = 1 + (1 + 2 + 3 + 4)$
$U_6 = 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)$

Kalau begitu,

$U_n = 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + (n – 1)$

Jika diperhatikan, bentuk $(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + (n – 1)$ sebenarnya adalah jumlah $n – 1$ suku pertama pada deret aritmetika, dengan $U_1$ atau $a = 1$ dan $b = 2 – 1 = 1$

Kalau bentuk $U_n = 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + (n – 1)$ digeneralisir, akan menjadi …

$\begin{aligned}U_n &= 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots + (n – 1) \\ U_n &= U_1 + S_{n-1} \\ U_n &= U_1 + \frac{n-1}{2}(2a + (n – 1 – 1) b) \\ U_n &= U_1 + \frac{n-1}{2}(2a + (n – 2) b) \end{aligned}$

Rumus menentukan Suku ke-$n$ pada barisan aritmetika bertingkat adalah

$\boxed{U_n = U_1 + \frac{n-1}{2}(2a + (n – 2) b)}$

Contoh 2 :

Tentukanlah suku ke-10 pada barisan $1, 2, 4, 7, 11, 16, \cdots$

Jawab :

Diketahui :

$U_1 = 1 \to$ Suku pertama barisan ini adalah 1.
$a = 1 \to$ $a$ adalah suku pertama pada beda barisan.
$b = 2 – 1 = 1 \to$ $b$ adalah beda yg tetap, yaitu $U_2 – U_1$.
$n = 10 \to$ Suku yang akan ditemukan adalah suku ke-10.

Ditanyakan :

$U_{10} = \cdots ?$

Penyelesaian :

Karena ini adalah barisan aritmetika bertingkat, maka kita akan menggunakan rumus $U_n = U_1 + \frac{n-1}{2}(2a + (n – 2) b)$ dengan mengganti nilai $U_1 = a = 1, b = 1, n = 10$.

Ditulis,

$\begin{aligned}U_n &= U_1 + \frac{n-1}{2}(2a + (n – 2) b) \\ U_{10} &= 1 + \frac{10-1}{2}(2(1) + (10 – 2) 1) \\ &= 1 + \frac{9}{2}(2 + (8)1) \\ &= 1 + \frac{9}{2} (2 + 8) \\ &= 1 + \frac{9}{2} (10) \\ & = 1 + \frac{90}{2} \\ &= 1 + 45 \\ &= 46 \end{aligned}$

Jadi, suku ke-10 pada barisan $1, 2, 4, 7, 11, 16, \cdots$ adalah $46$.

Contoh 3 :

Tentukan suku ke-31 barisan $3, 4, 7, 12, 19, \cdots$!

Jawab :

Kita perhatikan pola barisan tersebut

Untuk menentukan $U_1, a, b$ perhatikan gambar ini

Dari gambar di atas ini diketahui :

$U_1 = 3$
$a = 1$
$b = 2$

Ditanyakan :

$U_{31} = \cdots?$

Penyelesaian :

$\begin{aligned}U_n &= U_1 + \frac{n-1}{2}(2a + (n – 2) b) \\ U_{31} &= 3 + \frac{31-1}{2}(2(1) + (31 – 2) 2) \\ &= 3 + \frac{30}{2}(2 + (29)2) \\ &= 3 + 15 . (2 + 58) \\ &= 3 + (15 . 60) \\ & = 3 + 900 \\ &= 903 \end{aligned}$

Jadi, suku ke-31 barisan $3, 4, 7, 12, 19, \cdots$ adalah $903$.

Nah, materi barisan dan deret artimetika sudah selesai.

Untuk memperkuat pemahamanmu tentang barisan dan deret artimetika, silakan download dan lihat pembahasan soal berikut …

• Download PDF Soal $\gg$ https://drive.google.com/file/d/13Ksv2o41O08CgyY-CfGErOh4-2JyqOqr/view
• Pembahasan Soal $\gg$ https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-barisan-dan-deret-aritmetika/

Selamat belajar …